3.Минор и алгебраическое дополнение.

Если в матрице А выделить несколько произвольных строк и столько же произвольных столбцов, то определитель, составленный из элементов, расположенных на пересечении этих строк и столбцов называется минором матрицы А.

Минором M_ij элемента a_ij определителя данной матрицы n-порядка, называется определитель матрицы, полученный из данной матрицы путем вычеркивания ее i-й строки и j-го столбца.

Базисный минор называется любой не равный нулю минор матрицы, порядок которого равен ее рангу.

2 3 5 6

5 1 4 -10

Алгебраическим дополнением Аij элемента a_ij определителя называется его минор, взятый со знаком «+», если сумма i+j - четное число, и со знаком «-», если эта сумма нечетная. Рассчитывается по формуле А_ij=(-1)^i+jM_ij

Решение:

4.Правила вычисления определителя матрицы произвольной размерности.

Определитель n-го порядка

Определителем n-го порядка называется число, которое вычисляется по квадратной матрице n-го порядка и при n=1 определенно формулой |А|=а₁₁, а при n≥2 равно сумме произведений элементов первой строки этой матрицы на соответствующие алгебраические дополнения

a а₁₂ … а_1n

a₂₁ a₂₂ … a_2n

|А|= … … … … = a₁₁A₁₁+a₁₂A₁₂+…+a_1nA_1n = ∑a_1jA_1j

a_n1 a_n2 … a_nn

Это равенство называют разложением определителя по первой строке.

В качестве ведущей строки или ведущего столбца выбирается строка или столбец с наибольшим количеством нулей.

Для определителей n-го порядка справедливы следующие утверждения:

1. Определитель n-го порядка равен сумме произведений элементов любого порядка на алгебраические дополнения этих элементов.

|А|= a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_1nA_1n = ∑a_ijA_ij i=1,2…n

|А|= a_1jA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj = ∑a_ijA_ij j=1,2…n

Равенства называются разложениями определителей по i-й строке или по j-му столбцу.

2. Все свойства, установленные для определителей второго и третьего порядка, справедливы для определителей n-го порядка.

5.Перемножение матриц.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

А) Умножение матрицы-строки на матрицу-стобец: результатом умножение стоки на столбец является матрица, состоящая из одного элемента (1х1).

         

Б) Умножение двух матриц

Произведением матрицы A размера (m,n) на матрицу B размера (n,k) называется матрица размера AxB=C размера (m,k).

Для того, чтобы матрицы можно было перемножить, число столбцов первого сомножителя должно быть равно числу строк второго сомножителя. Если это требование выполнено, то произведением этих сомножителей является матрица, у которой число строк равно числу строк первого сомножителя, а число столбцов равно числу столбцов второго сомножителя.

 Найдем элементы матрицы С:

 

Итак, 

Если есть возможность вычислить AxB, то далеко не всегда можно вычислить BxA.

Например, А_2х3 * В_3х4=С_2х4

B_3x4*A_2x3 – умножить нельзя

Свойства перемножения матриц:

• A(BC)=(AB)C

• A(B+C)=AB+AC

• λ(AB)=A(λB)

• (AB)^т=B^тA^т