10. Метод Крамера решения системы линейных алгебраических уравнений.

Метод Крамера является методом решения квадратной системы линейных алгебраических уравнений.

Рассмотрим стандартную линейную систему трех уравнений.

 (2)

Под решением системы понимается всякая тройка чисел (х,у,z), удовлетворяющая этой системе, т.е. при подстановке которых в систему линейных уравнений получаются верные равенства.

Введем определитель системы   , и дополнительные определители 

Если определитель   системы (2) отличен от нуля, то существует, и притом единственное, решение этой системы, и оно выражается формулами   (3)

Формулы (3) называются формулами Крамера.

Неизвестные стандартной линейной системы с ненулевым определителем  представляют собой дроби, знаменатели которых есть определитель системы, а числители равны соответствующим дополнительным определителям.

Замечание: Если определитель системы равен 0, то система (2) или несовместна или имеет бесконечно много решений.

Пример 1:  Найдем решение системы трех уравнений с тремя неизвестными методом Крамера:

Составим определитель системы, дополнительные определители и вычислим их методом треугольников. 

Подставляя полученные результаты в формулы Крамера (3) находим единственное решение системы линейных уравнений:

 

11.Обратная матрица. Определение и способы вычисления.

Определение:

Матрица В называется обратной для Матрице А, если произведение этих матриц коммуникативно и равно единичной матрице,

ТО ЕСТЬ : AB=BA=E

Способы вычисления:

Пусть дана квадратная матрица  . Требуется найти обратную матрицу  .

способ. В теореме существования и единственности обратной матрицы указан один из способов ее нахождения.

1. Вычислить определитель   данной матрицы. Если  , то обратной матрицы не существует (матрица   вырожденная).

2. Составить матрицу   из алгебраических дополнений   элементов матрицы  .

3. Транспонируя матрицу  , получить присоединенную матрицу  .

4. Найти обратную матрицу разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель 

Пример:

Дана матрица  . Найти обратную.

1. Находим определитель матрицы  .

2. Находим алгебраические дополнения данной матрицы:

и составляем из них матрицу  .

3.Транспонируя матрицу  , получаем присоединенную матрицу

4. Разделив все элементы присоединенной матрицы на определитель  , получим обратную матрицу:

Проверим равенство 

12. Метод обратной матрицы решения системы линейных алгебраических уравнений.

Решить СЛАУ методом обратной матрицы.  2 x ₁ + 3x₂ + 3x₃+ x₄= 1  3 x ₁ + 5x₂ + 3x₃+ 2x₄= 2  5 x ₁ + 7x₂ + 6x₃+ 2x₄= 3  4 x ₁ + 4x₂ + 3x₃+ x₄= 4

Решение. Запишем матрицу в виде:  Вектор B:  B^T = (1,2,3,4)  Главный определитель  Минор для (1,1):   = 5•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•2)+4•(3•2-6•2) = -3  Минор для (2,1):   = 3•(6•1-3•2)-7•(3•1-3•1)+4•(3•2-6•1) = 0  Минор для (3,1):   = 3•(3•1-3•2)-5•(3•1-3•1)+4•(3•2-3•1) = 3  Минор для (4,1):   = 3•(3•2-6•2)-5•(3•2-6•1)+7•(3•2-3•1) = 3  Определитель минора  ∆ = 2•(-3)-3•0+5•3-4•3 = -3  Транспонированная матрица  Алгебраические дополнения   ∆_1,1 = 5•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+2•(7•3-6•4) = -3  ∆_1,2 = -3•(6•1-2•3)-3•(7•1-2•4)+1•(7•3-6•4) = 0  ∆_1,3 = 3•(3•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-3•4) = 3  ∆_1,4 = -3•(3•2-2•6)-3•(5•2-2•7)+1•(5•6-3•7) = -3  ∆_2,1 = -3•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+2•(5•3-6•4) = 9  ∆_2,2 = 2•(6•1-2•3)-3•(5•1-2•4)+1•(5•3-6•4) = 0  ∆_2,3 = -2•(3•1-2•3)-3•(3•1-2•4)+1•(3•3-3•4) = -6  ∆_2,4 = 2•(3•2-2•6)-3•(3•2-2•5)+1•(3•6-3•5) = 3  ∆_3,1 = 3•(7•1-2•4)-5•(5•1-2•4)+2•(5•4-7•4) = -4  ∆_3,2 = -2•(7•1-2•4)-3•(5•1-2•4)+1•(5•4-7•4) = 1  ∆_3,3 = 2•(5•1-2•4)-3•(3•1-2•4)+1•(3•4-5•4) = 1  ∆_3,4 = -2•(5•2-2•7)-3•(3•2-2•5)+1•(3•7-5•5) = 0  ∆_4,1 = -3•(7•3-6•4)-5•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -12  ∆_4,2 = 2•(7•3-6•4)-3•(5•3-6•4)+3•(5•4-7•4) = -3  ∆_4,3 = -2•(5•3-3•4)-3•(3•3-3•4)+3•(3•4-5•4) = 9  ∆_4,4 = 2•(5•6-3•7)-3•(3•6-3•5)+3•(3•7-5•5) = -3  Обратная матрица  Вектор результатов X : X = A^-1 ∙ B  X ^T = (2,-1,-0.33,1)  x₁ = 2  x₂ = -1  x₃ = -0.33  x₄ = 1