Илиндрические функции.
Поставим
задачу решения
на с/в и с/значения.
Пусть задача обладает некоторой цилиндрической симметрией.
Введем
операторы
Все они коммутируют:
Тогда у них одинаковая собственная функция:
Подействуем
на f
∆:
обозначим:
Введем
:
- безразмерная переменная.
-уравнение Бесселя.
Решение этого уравнения – функция Бесселя.
-
ф-я Бесселя (ф-я Бесселя 1 рода)
-
ф-я Неймана (ф-я Бесселя 2 рода)
Уравнение
Бесселя можно записать в комплексном
виде.
В чем отличие функции Бесселя и функции Неймана.
Пусть x→0:
-уравнение
Эйлера.
Будет 2 частных решения:
Одна
из этих функций сингулярная в нуле
(Im(x)),
а другая нет.
-
нулевая функция Бесселя.
Рассмотрим Уравнения при m=0:
Так же уходит в ∞.
Вместо
решений
и
иногда используют функции Ганкеля 1 и
2 рода.
Сделаем замену x→iz
Решение
этого уравнения – модифицированные
функции Бесселя.
Все функции Бесселя осциллирующие.
Обе модифицированные функции сингулярные.
Производящая функция Бесселя.
-двумерное
уравнение Лапласа.
-частное решение
этой функции, собственная функция для
и
-не
является собственной функцией для
-спектр
вырожден.
Возьмем
направление вектора k
по оси y
Потребуем,
чтоб функции Fk
и Фк
совподали:
т.к.
Im
мы еще не определили.
введем
некоторое комплексное число:
- производящая функция для функции Бесселя
Разложение функции Бесселя в ряд Тейлора.
Если k>n, то (n-k) будет отрицательным.
Г – функция от отрицательного целого числа обращается в бесконечность, поэтому слагаемое с k>n зануляется.
Это выражение можно считать определением .
Область определения вся ось x.
Нет смысла рассматривать функцию Бесселя при m<0 и x<0.
Свойства функции Бесселя.
Это
разложение в ряд Фурье.
Интегральное представление для функции Бесселя.
Рекуррентные соотношения для Функций Бесселя.
Используем производящую функцию.
1)
2)
3)
Графическое представление функций Бесселя.
- получили из ряда Тейлора.
Сходимость
этого ряда выше, чем у
.
- единственная функция Бесселя, имеющая конечное значение в нуле.
Знакопеременность имеет место для всех функций Бесселя.
Чем больше m, тем дольше бессель прижат к 0.
-
первый максимум.
Метод стационарной фазы.
Речь идет о вычислении интегралов.
x>>1 – действительный параметр
Как себя будет вести экспонента.
У функции будут быстрые осцилляции в случае большого х. Вклад в интеграл будет давать экстремум, осцилляции загасятся при интегрировании.
Разложим в ряд Тейлора, линейный член = 0, т.к. f’=0.
Пределы заменили, т.к. интегрирование в окрестности a и b и дальше от экстремума вклада в интеграл не дает.
Какая область дает вклад в интеграл?
Оценим расстояние (область) по ближайшим нулям.
- это малая величина <<1 и она стояла бы в экспоненте. Кубический член не оказывает заметного влияния.
Нужно, чтобы точка экстремума стояла бы на расстоянии от a и b.