Асимптотика функции Бесселя на бесконечности.

У синуса [0,π] есть экстремум.

при x<m у функции Бесселя вообще нет экстремума. Нужно рассматривать случай x>m.

от точки лежит не очень далеко, тогда каким должно быть , чтобы мы могли использовать метод.

- более жесткое условие, чем x>>1. Если m не очень велико, то эти условия эквивалентны. Если m большое, то x должен быть порядка m, чтобы условие выполнялось.

Это асимптотика функции Бесселя.

m определяет положение первого максимума.

Нули функции Бесселя.

m – номер функции, i – номер корня

Все нули у функции Бесселя простые, кроме точки x=0. Корень x=0 имеет кратность m. Для кратность равна 0. Следовательно, он вообще не корень.

Условие ортогональности для функции Бесселя.

Сферические функции:

- оператор кол-ва движения

Есть 3 оператора

- они функционально не связаны;

- коммутируют друг с другом.

Их собственные значения могут быть выбраны одинаковыми

Почему –k² ?

Теорема: Пусть есть , тогда

Доказательство:

ч.т.д.

- эрмитовские операторы. С/зн – среднее значение в базисе собственных функций. Из теоремы о среднем значении эрмитовского оператора следует, что с/зн p² всегда положительные, а с/зн ∆ - всегда отрицательные, поэтому –k².

Операторы орбитального момента:

, эти уравнения самодостаточны. Их можно решать отдельно от третьего.

Спектр вырожден 2l+1 раз. Совместный спектр не вырожден

.

Вывод: |f±> является собственным для .

Условие нормировки для сферических функций.

-сферические функции.

Условие нормировки:

Фазы выбираем такие, чтоб C и D оказались действительными.

- собственные значения квадрата момента импульса.

Сфер. функ. ортонормированны.

Система сф. функ. – полная.

Явные выражения для сферических функций.

Найдем нормировочную константу С:

!

Пусть k=l-m:

- рекуррентное соотношение

положим k=l-m:

часто cos обозначают z , тогда:

Уравнения Лежандра. Полиномы Лежандра.

Где присоединённый полином Лежандра.

положим z=cos:

-присоединённое уравнение Лежандра.

Решение данного уравнения это - присоединенные полиномы Лежандра:

Присоединенные полиномы Лежандра рассматривают только при m>0.

Если m=0:

-ур-е Лежандра.

- ф-ла Радрига для полинома Лежандра.

Связь полиномов Лежандра и сферических функций.

работает при (+) и (-) m, тогда:

Условие ортогональности для полиномов Лежандра.

Будем исходить из ортонормиров. сферических функций.

- условие ортогональности для присоединенных полиномов Лежандра.

Если положить m=0 получим условие для обычных полиномов Лежандра:

Для присоединенных полиномов Лежандра:

- они не единичные функции;

- это функции ортогональные;

- Ортогональность полиномов Лежандра имеет место только в случае одинаковых m.

Свойства полиномов Лежандра.

1) теорема сложения для полиномов Лежандра.

Теорема:

Теорема имеет смысл при l=1,2,3.

2)

Полиномы Лежандра обладают определенной четностью.

3)

Заменим:

4) Свойство полноты полиномов Лежандра.

5) Выбираем ось так, чтоб от φ ничего не зависело.

Замечания о свойствах полноты базиса полиномов Лежандра.

Пусть есть |e_j>

значит система векторов неполная.

Если n=N

если n<N

Производящая функция для полиномов Лежандра.

Найдем потенциал точечного заряда.

Сфер с.к.: r,θ,φ

По полиному Лежандра:

Подставим в уравнение Лапласа:

-Ур-е Эйлера.

Ищем в виде

- общее решение уравнения Лапласа.

Применяем граничные условия:

1)

2)

3)

-обозначили

Введем обозначение:

:

Положим

- геометрическая прогрессия.

→

!

! (1)

!

- производящая функция для полиномов Лежандра.

(1) можно рассматривать как разложение в ряд Тейлора по x, он сходится при |x|<1 или как разложение по полиномам Лежандра.

Рекуррентное соотношение для полиномов Лежандра.

1)

Переобозначим l+1 -> l

сделаем, чтоб во всех суммах был x в одинаковой степени:

Вынесем сумму:

- рекуррентное соотношение.

Далее полиномы Лежандра можем получать, используя рекуррентные соотношения.

2)

_{Для присоединенных полиномов Лежандра:}

Для обычного полинома Лежандра:

=>

Сферические функции Бесселя.

Явный вид для сферических функций Бесселя.

будем писать:

1) Решим

хотя υ может быть любым

-явные выражения для сферических функций

2)

Заменим

Положим:

Функция сингулярная (не имеет особенностей в 0 как и ее дети)

при x→0

Разложение в ряд Тейлора для сферических функций.

-для нее получим разложение в ряд Тейлора.

- в ряд Тейлора.

Или

Разложение плоской волны по полиномам Лежандра.

Положим:

то есть волна вдоль z

при m≠0

Положим

- разложение плоской волны по полиномам Лежандра.