2.1.3. Осциллирующая сфера (диполь).

Осциллятор – тело, совершающее движение как единое целое. Задача формулируется следующим образом:

,

.

Задача решается методом разделения переменных:

,

.

Подстановка в последнее уравнение приводит к уравнению Бесселя:

.

Решение для функции выражают через сферические функции

, и т.д.

,

,

,

,

,

Теперь можно получить выражение для основных величин, характеризующих работу излучателя:

,

,

,

,

,

,

На низких частотах эффективность работы существенно ухудшилась в сравнении с монополем, . На высоких частотах диполь излучает в три раза меньшую мощность в сравнении с монополем, но создаёт при этом то же самое давление на акустической оси, т.е. работает экономичней за счёт направленности. Для выяснения структуры звукового поля вводят векторные линии тока, для которых можно получить уравнение:

.

На низких частотах и в ближнем поле:

- уравнение векторных линий тока.

Структура линий – замкнутая, а потому на низких частотах частицы среды движутся с одной полусферы на другую без деформации, не испытывая сопротивления (короткое замыкание), .

На высоких частотах растёт набег фазы вдоль векторных линий тока и растёт ослабление амплитуды элементарных сферических волн вследствие сферической расходимости и полной компенсации звукового давления не происходит – сопротивление увеличивается.

Эффект акустического короткого замыкания характерен для всех излучателей на низких частотах, если на их поверхности есть участки с противофазным распределением колебательной скорости.

Ближнее поле диполя является реактивным:

,

,

- дальнее поле является энергонесущим.

2.1.4. Зональный излучатель.

Задача формулируется следующим образом:

,

,

- произвольная функция угла .

Задача решается методом разделения переменных:

,

,

,

- постоянная разделения.

. (2.3.)

Другой вид уравнения (2.3.):

,

. (2.4.)

Уравнения (2.3.), (2.4.) имеют конечные решения во всей области определения при

- полиномы Лежандра.

- формула Родрига,

,

- частное решение,

- общее решение.

Полиномы Лежандра образуют полную ортогональную систему в области определения, поэтому граничную функцию можно представить разложением в ряд по полиномам Лежандра и определить произвольные постоянные общего решения.

,

,

,

,

,

,

- функции Морза.

- общее решение.

Теперь можно получить основные характеристики зонального излучателя:

,

,

,

,

, (2.5.)

,

,

, (2.6.)

, (2.7.)

- сферические функции Бесселя и Неймана.

Выражение (2.5.) получено методом дальнего поля, выражения (2.6.), (2.7.) получены методом ближнего поля с использованием определения интегральной реакции.

Характеристика направленности по интенсивности:

,

,

,

,

,

,

- излучатель порядка,

- парциальная характеристика направленности, .

- число узловых широт на поверхности излучателя.

Ортогональность угловых функций (полиномов Лежандра) обеспечивает энергетическую независимость элементарных излучателей -го порядка, а суммарная мощность сложного излучателя равна сумме мощностей отдельных излучателей порядка .