2.2.1. Пульсирующий цилиндр.

В качестве модели излучателя с геометрией цилиндра в простейшем случае принимается модель бесконечно протяжённого цилиндра, поле которого не зависит от координаты , направленной вдоль оси цилиндра. Такая модель не имеет реальных аналогов и используется только в качестве первого приближения к построению более точных моделей. Задача решается в плоскости цилиндрической системы координат.

,

,

,

,

,

,

.

Все основные характеристики цилиндрического монополя находятся обычным путём:

. (2.13.)

При выводе (2.13.) используется тождество:

,

,

,

где: -мощность и активное сопротивление излучения, рассчитанные на единицу длины цилиндра.

,

,

,

При анализе предельных случаев низких и высоких частот используется следующая асимптотика цилиндрических функций.

,

,

,

,

,

,

,

.

На низких частотах цилиндрический излучатель также работает неэффективно, а реактивная составляющая сопротивления излучения является преобладающей. На высоких частотах реактивность поля исчезает и активное сопротивление излучения стремится к своему пределу.

Иная частотная зависимость активного сопротивления излучения на низких частотах объясняется иной расходимостью поля, а именно, цилиндрической, что является следствием принятых допущений.

Ближнее поле цилиндрического излучателя является реактивным, т.е. давление и колебательная скорость сдвинуты на , в дальнем поле фазовый сдвиг исчезает и поле становится энергонесущим.

Под цилиндрической расходимостью понимают изменение полевых величин по закону:

, которому подчиняется дальнее поле излучателя .

2.2.2. Осциллирующий цилиндр.

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

,

.

Сравнительный анализ характеристик цилиндрических излучателей, монополя и диполя, позволяет повторить ранее сделанные выводы – акустическое короткое замыкание, характерное для излучателей дипольного типа на низких частотах, существенно ухудшат эффективность его работы в сравнении с монополем.

На высоких частотах активное сопротивление становится преобладающим, но оно вдвое меньше, чем для монополя. Это означает, что осциллятор, создавая то же давление на акустической оси, затрачивает при этом вдвое меньшую мощность.

2.2.3. Произвольный цилиндрический излучатель.

,

,

- произвольная функция угла .

- целое число из условия периодичности решения по углу .

,

,

,

,

,

.

Вводя обозначение: , получаем:

,

, (2.14.)

.

Используя решение (2.14.), можно найти все основные характеристики цилиндрического излучателя:

,

,

.

Теперь нужно воспользоваться асимптотикой функций Ганкеля большого аргумента:

,

,

,

,

,

,

,

,

- характеристика направленности.

.

В частном случае:

,

.

.

,

.

,

.

2.2.4. Цилиндрический излучатель конечной высоты

в жёстком экране.

,

,

(2.15.)

.

В постановке (2.15.) конечной считается активная часть собственно излучателя, тогда как остальная часть цилиндра считается жёстким экраном.

Функция распределения считается представимой в виде интеграла Фурье:

, (2.16.)

тогда и решение задачи (2.15.) можно искать в виде аналогичного Фурье-интеграла:

, в котором Фурье-трансформанта удовлетворяет уравнению:

(2.17.)

с граничным условием:

,

,

. (2.18.)

Задача (2.17.), (2.18.) рассматривалась в предыдущем разделе, а её решение имеет вид:

.

Решение исходной задачи (2.15.) записывается теперь в виде следующего несобственного интеграла:

. (2.19.)

Интегралы типа (2.19.) оцениваются в дальней зоне асимптотическими методами, для чего нужно воспользоваться асимптотикой функций Ганкеля большого аргумента:

,

, (2.19.)

.

Решение (2.20.) имеет вид интегральной суммы элементарных волн, для каждой из которых волновой вектор произвольно ориентирован в плоскости , а параметр интегрального преобразования можно трактовать как проекцию волнового вектора на ось в соответствии с представлением:

, однако, в таком представлении угол нужно понимать как комплексный угол.

Записав координаты точки наблюдения в аналогичном виде:

, перепишем (2.20.) в новых переменных.

. (2.21.)

Соответствие пути интегрирования по и контура поясняется рисунком.

Контур был введён Зоммерфельдом и называется его именем.

В соответствии с представлением (2.21.) поле произвольного источника состоит из двух частей: одна часть, энергонесущая, соответствует вещественным углам в зоне видимости ; другая часть, реактивная, соответствует комплексным углам на контуре , и описывает медленные волны, бегущие вдоль оси с фазовой скоростью , и экспоненциально убывающие вдоль оси (неоднородные по волны).

В дальней зоне излучателя достаточно точную оценку интеграла (2.21.) даёт метод стационарной фазы, согласно которому контур интегрирования деформируется без изменения значения интеграла таким образом, чтобы фаза экспоненциального множителя осталась постоянной в некоторой области интегрирования, а его амплитуда убывала бы наиболее быстро.

Точка стационарной фазы определяется условием:

.

Деформированный путь интегрирования проходит точку под углом , а в её окрестности справедливы оценки:

.

Из этих оценок видно, что экспоненциальный множитель быстро убывает вдоль контура в окрестности точки , а результат интегрирования определяется малой её окрестностью.

,

(интеграл Пуассона).

Полученное решение приведём к стандартному виду:

, (2.22.)

- поверхность излучателя.

- характеристика направленности линейной антенны длиной .

.