§ 11. Базис пространства v2.

Теорема (Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов).

Пусть , Î Vⁿ.

Векторы и коллинеарны тогда и только тогда, когда существуют два числа ,  Î R такие, что хотя бы одно из этих чисел не равно нулю* и  +  = q.

Доказательство.

1) Пусть векторы и коллинеарны. Докажем, что существуют два числа a, b Î R такие, что хотя бы одно из этих чисел не равно нулю и a + b = q.

1 случай. =  или = .

Если = , возьмем  = 1 и  = 0, тогда a + b = 1   + 0  =  +  = q.

Если = , то по аналогии возьмем  = 0 и  = 1.

2 случай. ≠  и ≠ .

По определению коллинеарности векторов существует число  ≠ 0 такое, что =  .

Возьмем  = ,  = -1, тогда a + b =  + (-1) = + (- ) = q.

2) Пусть a + b = q и из чисел  и  хотя бы одно не равно нулю.

Так как a + b = q, то a = - b .

Если  ≠ 0 , то = - , и векторы коллинеарны и по определению (см. § 9). Если  = 0, то  ≠ 0 и вектор = , то есть векторы и коллинеарны.

Замечания.

1)*Условие «хотя бы одно из двух чисел  и  не равно нулю» означает, что одновременно оба эти числа не могут быть нулями, то есть ² + ² ≠ 0.

2) Ясно, что для любых векторов и можно найти такие два числа a, b Î R такие, что a + b = q ; взять например  =  = 0. В теореме утверждается, что для коллинеарных векторов можно найти числа  и  такие, что  ≠ 0 или  ≠ 0 (или  ≠ 0 и  ≠ 0).

3) Сформулировать данную теорему можно и иначе (для не коллинеарных векторов): «Векторы и не коллинеарны тогда и только тогда, когда равенство a + b = q выполняется только для a = b = 0 ».

Теорема. Пусть , Î V² – не коллинеарные векторы. Тогда, когда для любого вектора Î V² существуют два числа x, y Î R такие, что = x + y , при этом числа x и у определены однозначно.

Доказательство.

1) Существование чисел x, y.

Возьмем произвольный вектор Î V².

Отложим векторы , и от одной точки O: = , = , = .

Так как векторы и не коллинеарны, то точки O,A,B не лежат на одной прямой.

1 случай. Точка C лежит на прямой OA или на прямой OB.

Если C  OA, то векторы и коллинеарны и существует такое число , что =  .

Возьмем x =  и y = 0, тогда x + y =  + 0 = .

Если C  OB поступим аналогично.

2 случай. Точка C не лежит ни на прямой OA, ни на прямой OB.

Через точку С проведем две прямые: прямую a параллельно прямой OA и прямую b параллельно прямой OB.

Пусть a  OB = B’ и b  OA = A’.

РИС. 23

Четырехугольник OA’CB’ – параллелограмм и ’ + ’ = = .

Так как точки O,A,A’ лежат на одной прямой, то существует такое число x, что ’ = x . Аналогично, существует такое число y, что ’ = y .

Итак, = x + y .

2) Единственность чисел x и y.

Предположим, что для некоторого вектора нашлись два числа x’ и y’ такие, что = x’ + y’ . С другой стороны, существуют два числа x и y, найденные для вектора способом, описанным в пункте 1 и = x + y .

Если = x + y , то - = (-1) (x + y ) = - x - y .

Тогда + (- ) = (x’ + y’ ) + (- x - y ), то есть (x’- x) + (y’- y) = .

Так как векторы и не коллинеарны, то x’ = x и y’ = y.

Определение. Базисом пространства V² будем называть упорядоченную пару не коллинеарных векторов пространства V².

Определение. Разложить вектор Î V² по базису { , } означает найти два числа x, y Î R такие, что = x + y .

Определение. Координатами вектора в данном базисе будем называть упорядоченный набор коэффициентов в разложении вектора по данному базису, то есть, если = x + y и { , } – базис V², то (x, y) – координаты вектора в базисе { , }.

Пример. Пусть на плоскости введена декартова система координат. Рассмотрим векторы = (1,0) и = (0,1). Векторы и не коллинеарны (см. § 9), то есть образуют базис пространства V². При этом, для любого вектора Î V² координаты этого вектора в данной системе координат – это и есть его координаты в базисе { , }, то есть « = (x, y)  = x + y ».

Базис { , } на (евклидовой) плоскости называется стандартным.

Упражнения.

1) В треугольнике ABC тока M – середина стороны ВС. Найдите координаты вектора = в базисе { , }, где (1) = , = ; (2) = , = .

2) Точка С делит AB в отношении . Найдите координаты вектора = в базисе { , }, где = , = .

3) Пусть векторы , Î V³ не коллинеарны, точки O, A, B  E³ такие, что = , = , то есть векторы и отложены от точки O. Докажите, что если для вектора Î V³ существуют два числа x, y Î R такие, что = x + y , и = , то точка C лежит в плоскости (OAB). Верно ли обратное?

(Указание. В плоскости (OAB) можно ввести декартову систему координат, как на плоскости E².)

4) Пусть , Î V² . Докажите, что если для любого вектора Î V² существуют два числа x, y Î R такие, что = x + y , при этом числа x и у определены однозначно, то векторы и не коллинеарны.