III) Докажем теорему для точек пространства (для e3).

Доказательство аналогично представленному в пункте (ii).

Пример.

Точка C является серединой отрезка AB тогда, и только тогда, когда _C = .

Замечание (О делении в отношении «часть к части»).

Существует и другой способ определения деления отрезка в отношении, мы его для определенности назовем «делением часть к части»:

Точка С делит отрезок AB в «отношении часть к части»  (  R), если:

1) Точка C лежит на прямой AB;

2) |AC| = || |CB|;

3)   0, если точка C лежит на отрезке [AB],

и  < 0, если точка C не лежит на отрезке [AB].

При таком определении:

 ≠ -1 и для точки B не определено «ношение часть к части» в котором она делит отрезок AB (то есть точка C не может совпадать с точкой B);

 < -1, если точки A и C лежат по разные стороны от точки B;

-1 <  < 0, если точки B и C лежат по разные стороны от точки A.

Для деления отрезка в «отношении часть к части» можно доказать следующую теорему: Точка C делит отрезок AB в «отношении часть к части»  тогда, и только тогда, когда справедливо следующее равенство _C = , где _A- координаты точки A, _B - координаты точки B, _C - координаты точки C.

Взаимосвязь двух определений деления в отношении отрезка отражена в следующей теореме: Пусть точка C делит отрезок AB в отношении , и делит этот отрезок в «отношении часть к части» , тогда  = и  = .

Упражнения.

1) Докажите теоремы из вышеописанного замечания.

2) Докажите, что точка является центром тяжести треугольника (точкой пересечения медиан этого треугольника) тогда, и только тогда, когда ее координаты являются средним арифметическим координат вершин этого треугольника.

§ 7. Барицентрическая система координат

7.1. Барицентрическая система координат на прямой

На прямой E¹ введем дополнительную структуру:

зафиксируем упорядоченную пару точек (A₁, A₂).

РИС.16

Как было показано в §6 каждой точке A прямой E¹, на которой отмечены две различные точки A₁ и A₂, можно однозначно сопоставить число , в котором эта точка делит отрезок [A₁A₂], при этом для декартовых координат точек справедливо равенство: .

Обозначение: вместо записи введем формальную запись A = (1-)A₁ + A₂ (*). Эта запись формальна в том смысле, что мы не рассматриваем умножение на число точки или сумму точек, запись вида (*) мы интерпретируем так: «Точка A делит отрезок [A₁A₂] в отношении », или так: «Декартовы координаты точек A₁, A₂, B таковы, что ».

Определим отображение : E¹  {(₁,₂) | l₁,l₂  R , l₁ + l₂ = 1} (**) по следующей формуле:  (A) = (l₁,l₂), если A = l₁A₁ + l₂A₂ (то есть точка A делит отрезок [A₁ A₂] в отношении l₂).

Теорема. Отображение  является биективным отображением.

Доказательство. (см. § 6).

Определение. Отображение  (**) будем назвать барицентрической системой координат на прямой.

Определение. Упорядоченный набор (l₁, l₂) такой, что (A) = (l₁,l₂) будем назвать барицентрическими координатами точки A в системе координат .

Пример. Барицентрические координаты середины отрезка [A₁A₂] это набор .