3.2. Модели типа "параметр-граница работоспособности"
Если нет данных по надежности уникального оборудования ЯЭУ (оно еще только проектируется или, являясь очень надежным, за время эксплуатации не отказало), для оценок показателей надежности можно использовать теоретические модели отказов. Одним из важных классов таких моделей является совокупность моделей типа "параметр-граница работоспособности".
Как правило, для большинства элементов оборудования ЯЭУ можно установить параметр (или перечень параметров), который, в основном, определяет условия работы элемента. Например, условия работы трубопровода может, в основном, определять давление теплоносителя в нем, условия работы ТВС кипящего реактора – запас до кризиса теплообмена, мостового крана в реакторном зале – нагрузка и т.п. Такого сорта параметры часто называют определяющими параметрами.
В моделях типа "параметр-граница работоспособности" отказом элемента считается следующее событие: пересечение изменяющимся определяющим параметром некоторой границы работоспособности. Такие отказы часто называют параметрическими, а задачу оценки надежности элемента по отношению к параметрическим отказам – оценкой параметрической надежности. В литературе по надежности, кроме приведенного, можно встретить несколько названий моделей таких отказов: "параметр-поле допуска", "нагрузка-прочность", "нагрузка-несущая способность" и т.п., суть которых одна – выход определяющего параметра за предельно допустимый уровень (ПДУ). Законы изменения определяющих параметров во времени могут быть как детерминированными, так и стохастическими. В последнем случае при создании моделей надежности требуется использование вероятностных методов.
3.2.1. Общая модель
Пусть для определяющего параметра п граница работоспособности есть S. Понятно, что условием работоспособности для х = S – п может быть неравенство
х>0.
Допустим, S и п – независимые случайные величины с плотностями распределения fs(S) и fn(n). Тогда х имеет плотность распределения
fx(x)
=
Вероятность работоспособного состояния есть
=
.
3.2.2. Частные случаи
1. Допустим, S =
S0 = const,
n(t)
= п0 +
t, где
= const, n0
– случайная величина с плотностью
распределения
(n0).
Тогда S имеет вырожденную плотность
распределения, т.е.
fs(S) = (S – S0)
и для x(t) = S0 – n0 – t имеем
fx(x)
=
.
Отсюда можно найти (t) – вероятность работоспособного состояния в момент времени t , т.е. вероятность того, что отказ наступит после момента времени t , как
(t)=
=
=
.
Полученная вероятность не может считаться надежностью элемента, т.к.
(0)=P0=
и вероятность того, что элемент проработает хоть какое-то время (t > 0) не равна единице. Величина Р0 есть вероятность того, что новый элемент не имеет недопустимого дефекта (годен к работе). Надежность P(t), являющаяся вероятностью того, что исправный (прошедший входной контроль) элемент откажет после момента времени t, есть
P(t)
=
В зависимости от конкретной интерпретации величин S0 и n можно получить различные модели отказов, например:
а) S0 – предельная величина дефекта, n(t) – фактическая величина дефекта, n0 – случайная начальная величина дефекта при изготовлении (монтаже, наладке, установке);
б) S0 – предельная величина давления, которую может выдержать конструкция, n(t) – фактическая величина давления при аварийном переходном процессе, n0 – начальная величина давления, которая может быть случайной.
2. В предыдущем случае:
а) случайной является скорость изменения определяющего параметра n;
б) случайным является момент времени t0 начала изменения определяющего параметра п.
Пусть имеет плотность распределения f(). Тогда зафиксировав , из предыдущего решения получим условную относительно надежность Р(t | ) Полная надежность есть
P(t)=
.
Пусть t0 имеет
плотность распределения
(t0),
которую можно интерпретировать,
например, как распределение времени
появления отказа, вызвавшего аварийный
переходной процесс. Тогда можно записать
n(t)
= n0 +
(t
– t0),
предыдущие результаты для Р(t)
принять как условную относительно t0
вероятность Р(tt0)
и вычислить окончательно
P(t)=
.
3. Предположим, граница работоспособности также является линейной функцией времени, т.е. S = S0+ t, где S0, – случайные величины с соответствующими законами распределения. Тогда условие работоспособности есть
x(t) = S(t) – n(t) > 0.
Поскольку
x(t) = (S0 – n0) + ( – )t,
этот случай сводится к одному из предыдущих.
Пример. Ситуация с линейным изменением величины S возможна, например, в следующем случае. Допустим, S – предел прочности трубопровода по давлению, который естественно зависит от толщины стенки. При коррозии трубопровода толщина стенки уменьшается (например, линейно), соответственно уменьшается предел прочности по давлению.
В практике расчетов линейные функции t – не единственные. Наиболее часто употребляются и такие монотонные по t функции, как
x(t) = x0 + (t),
x(t) = x0(+ t),
x(t) =x0 et,
где x0 и – случайные величины, – монотонная функция с (0) = 0, например, (t) = tp , (t) = с1t+с2t2 +…+cntn. Две последние функции x(t) сводятся к линейному случаю путем логарифмирования и соответствующей замены переменных.