3.4.2. Вторая модель

Может возникнуть вопрос: а как быть, если на параметр ЯЭУ накладываются ограничения сверху (надежность) и снизу (экономичность)? Можно было бы в этом случае воспользоваться суперпозицией двух лог-нормальных распределений из предыдущей модели и применить интерпретацию двух подопытов в одном опыте. Однако такая модель оказалась бы слишком громоздкой, содержащей большое число параметров, требующих оценки, некоторые из которых требовали бы дополнительных усилий с их интерпретацией. Можно применить другую модель, с помощью которой удается достаточно простыми средствами учесть фактор целенаправленного воздействия на параметры ЯЭУ в описанной ситуации с двумя уставками. По этой модели параметр ЯЭУ движется с постоянной, в среднем, скоростью между двумя фиксированными уставками. В момент достижения какой-либо уставки эта скорость меняет знак на противоположный.

Таким образом, определяющий параметр ЯЭУ x(t) может принимать значения с вероятностью единица из некоторого отрезка [а,b] Границы а и b определяются либо их физической достижимостью, либо уставками. В интервале (а,b) параметр изменяется, в среднем, с постоянной скоростью v₀, на которую наложена некоторая случайная составляющая (t). Эта составляющая определяется случайными отклонениями в условиях протекания процесса изменения параметра и часто может быть представлена моделью белого шума. Таким образом, скорость изменения параметра x(t) в интервале (а,b) представим суммой

. (3.18)

При достижении процессом x(t) какой-либо из границ а или б происходит его отражение внутрь интервала (а,b). Описанной моделью можно представить, например, движение уровня воды в барабан-сепараторе или компенсаторе давления, отложение твердых частиц на фильтрах перед входом теплоносителя в активную зону и т. п. Исходя из формулы (3.18) стохастическое дифференциальное уравнение, которому подчиняется определяющий параметр x(t) в интервале (а, b), есть

. (3.19)

Случайный процесс, подчиняющийся уравнению (3.19), где (t) – белый шум, является одномерным диффузионным процессом с постоянным коэффициентом сноса v₀. Постоянство коэффициента сноса v₀ приводит к тому, что движение параметра между двумя актами отражения от границ не является стационарным. В то же время, если границы а и b постоянны, то установившееся движение параметра в отрезке [а,b], рассматриваемое на длительном интервале времени, когда произошло достаточное количество отражений от границ, можно считать стационарным.

Закон распределения значений параметра между уставками может быть получен с помощью решения уравнения Колмогорова

(3.20)

для переходной плотности вероятности одномерного диффузионного процесса x(t) с соответствующими условиями отражения на границах отрезка [а,b]:

. (3.21)

Здесь D – коэффициент диффузии, определяемый как множитель при -функции в автокорреляционной функции белого шума; G(x,t) – поток вероятности; , где v₀ – средняя скорость. Кроме того, должна удовлетворять начальному условию

, а < х < b. (3.22)

Стационарное решение w_ст(х) краевой задачи (3.20)-(3.21) можно записать в виде

.

Полученная плотность распределения w_ст(х) не является типовой. Более того, она имеет ряд особенностей, которые позволяют с ее помощью интерпретировать некоторые необычные распределения параметров ЯЭУ. Здесь фактор целенаправленного воздействия выражается в постоянстве модуля средней скорости, а случайный фактор – в наличии случайных отклонений от нее. Полученное выражение для плотности распределения параметра w_ст(х) достаточно простое и явно негауссовское. Оба фактора учитываются в параметре распределения . В зависимости от соотношения этих двух величин можно иметь теоретические распределения от равномерного (v  0) вплоть до распределения амплитуд почти идеального гармонического осциллятора (v). С помощью такой модели можно получить близкие к равномерным или даже выпуклые вниз распределения параметров ЯЭУ. В этом случае под координатой t также можно понимать не только время.

Если уставки "размыты", т.е. а и b – случайные величины, то формулой (3.23) описывается условное распределение . Тогда, если f(a, b) – совместная плотность распределения случайных величин а и b, то

.

В этом случае плотность w_ст (x) может быть не равна нулю на всей числовой оси. Поэтому, если недопустимой по соображениям безопасности областью значений параметра х является, например, интервал (x_пр, ), то надежность может быть определена выражением

.