32. Коефіцієнт кореляції та його властивості

кореляційний момент:

У разі Κ_ху = 0 зв’язок між величинами Х та Y, що належать системі (Х, Y), відсутній. Коли Κ_ху  0, то між відповідними Х і Y кореляційний зв’язок існує.

Тісноту кореляційного зв’язку характеризує коефіцієнт кореляції:

, або .

Отже, якщо випадкові величини Х та Y є незалежними, то Κ_ху = 0 і r_ху = 0. Рівність нулеві r_ху є необхідною, але не достатньою умовою незалежності випадкових величин.

Справді, може існувати система залежних випадкових величин, в якої коефіцієнт кореляції дорівнює нулю. Прикладом такої системи є система двох випадкових величин (X, Y), яка рівномірно розподілена всередині кола радіусом R із центром у початку координат. Дві випадкові величини Х і Y називають некорельованими, якщо r_ху = 0, і корельованими, якщо r_ху  0.

Отже, якщо Х і Y незалежні, то вони будуть і некорельованими. Але з некорельованості випадкових величин у загальному випадку не випливає їх незалежність.

33.Функція розподілу ймовірностей й щільність ймовірностей системи.

Функція розподілу ймовірностей — В теорії ймовірностей це функція, яка повністю описуєрозподіл ймовірностей випадкової величини.

Нехай   — ймовірнісний простір, в якому   — множина елементарних подій,   — сукупність підмножин  , що утворюють  -алгебру, множини з   називаються випадковими подіями,   — міра на  , що задовольняє умову  . Функція  , визначена   рівністю

,

називається функцією розподілу ймовірностей або кумулятивною функцією розподілу ймовірностей випадкової величини ξ. Вираз в правій частині рівності є ймовірністю того, що випадкова величина   набуває значень менших або рівних  .

Щільність імовірностей системи п випадкових величин є функція

Умова нормування для системи п неперервних випадкових величин

Щільність імовірностей для деякої підсистеми (х₁, х₂ ,… х_k) системи (х₁, х₂ ,… х_п), де k < n подається у вигляді

Умовна щільність підсистеми (х₁, х₂,…, х_k) системи (х₁, х₂,…, х_п) (k < n) визначається за формулою

.

Якщо випадкові величини системи (х₁, х₂ ,…, х_п) є незалежними, то

34.Двовимірний нормальний закон.

Сприятливими умовами для побудованої лінійної регресійної моделі є узгодження пари випадкових величинx та y з двовимірним нормальним законом розподілу.

Кожному фіксованому (можливому) значенню x відповідає набір можливих значень  , що мають свої ймовірності появи цих значень   і підпорядковані, вважатимемо, нормальному закону розподілу з математичним сподіванням   та дисперсією  . Розподіл величини y для фіксованого x називають умовним розподілом з розподілом  . Аналогічно для фіксованого y маємо нормальний закон розподілу випадкової величини x з математичним сподіванням  , дисперсією  , густиною розподілу  . Отже, кожна з можливих пар значень   має ймовірність появи (згідно з формулою ймовірності для добутку подій)

  ,

що задає двовимірний нормальний закон розподілу:

,        (4.8)

де   – відповідно, загальні (не умовні!) математичні сподівання, дисперсії та парний коефіцієнт кореляції.

Геометричне місце точок, що відповідає центрам умовних розподілів y(x), називають лінією регресії y на x, аналогічно, центри умовних розподілів x(y) дають лінію регресії x на y.