Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение двойного интеграла.

2. Каковы основные свойства двойного интеграла?

3. Как производится вычисление двойного интеграла?

4. Какой интеграл называется повторным?

5. Чем повторный интеграл отличается от двойного?

6. Как находятся пределы интегрирования в повторном интеграле?

7. Какие координаты называются полярными?

8. Как выглядят формулы перехода к полярным координатам?

9. Когда удобно применять полярные координаты?

10. Как с помощью двойного интеграла вычислить площадь плоской фигуры, массы плоской пластины; определить координаты центра масс плоской пластины?

Тройные интегралы.

Определение. Тройным интегралом от функции по замкнутой пространственной области называют предел интегральной суммы при стремлении шага разбиения области к нулю, если данный предел существует, т.е.

.

Теорема. Достаточные условия существования тройного интеграла.

Если функция непрерывна в замкнутой области , то существует.

Свойства тройного интеграла

1. .

2. .

3. Если область разбита на две области , то .

4. Если всюду в области , то .

5. Если всюду в области , то .

6. Если функция задана в области , то .

7. Теорема о среднем. Если функция непрерывна в замкнутой области , то в этой области существует точка такая, что , где - объём одноимённой области.

Вычисление тройных интегралов

Теорема. Если пространственная область ограничена снизу и сверху поверхностями , где и - непрерывные функции в замкнутой области плоскости , образующие которой параллельны оси , а направляющей является граница области , то для функции , непрерывной в замкнутой пространственной области , справедлива следующая формула: .

Если при этом область плоскости ограничена линиями , где - непрерывные на отрезке функции, причём , то, переходя от двойного интеграла по области к повторному интегралу, получаем формулу:

.

Интеграл, стоящий в правой части равенства, называется трёхкратным. Для нахождения трёхкратного интеграла сначала вычисляется внутренний интеграл по переменной , переменные при этом считаются константами; затем вычисляется внутренний интеграл по переменной , при этом переменная считается константой; затем вычисляется внешний интеграл по переменной .

Пример 5. Вычислить , если тело ограничено поверхностями: .

Решение: Изобразим область интегрирования и её проекцию на плоскость .

Пример 6. Вычислить , если область ограничена поверхностями: .

Решение: Изобразим область интегрирования и её проекцию на плоскость .

Некоторые геометрические и механические приложения тройного интеграла.

1. Вычисление объёма тела : .

2. Вычисление массы тела : , где - плотность распределения массы.

3. Вычисление координат центра тяжести т. тела : , , где - плотность распределения массы тела , - масса тела .

Замечание. Если тело однородно, т.е. масса тела распределена равномерно,

то .

Пример 7. Найти ординату центра масс призмы, ограниченной плоскостями , с функцией плотности .

Решение: Изобразим область интегрирования и её проекцию на плоскость .

Переход в тройном интеграле к цилиндрическим координатам

Положение точки в пространстве можно однозначно задать тройкой чисел , где - длина радиус-вектора проекции точки на плоскость, - угол между радиус-вектором и осью , а - аппликата точки . Числа называются цилиндрическими координатами точки . Они связаны с её декартовыми координатами следующими соотношениями: , где , . Якобиан перехода от декартовых координат к цилиндрическим равен . Тогда формула перехода от декартовых координат к цилиндрическим имеет вид:

.

Замечание. Данную формулу удобно применять, когда тело вытянуто вдоль оси координат, подынтегральная функция зависит от или проекция тела на плоскость, перпендикулярную оси координат, представляет собой круг, часть круга, кольцо или часть кольца.

Пример 8. Найти объём тела, ограниченного поверхностями: . Сделать рисунок к задаче.

Решение: Изобразим область интегрирования и её проекцию на плоскость .

Запишем уравнения поверхностей, ограничивающих тело , в цилиндрических координатах. Получим . Тогда

Пример 9. Найти объём тела, расположенного внутри цилиндра и ограниченного сферой . Сделать рисунок к задаче.

Решение: Изобразим область интегрирования и её проекцию на плоскость .

Запишем уравнения поверхностей, ограничивающих тело , в цилиндрических координатах. Получим . Тогда

Задачи для самостоятельного решения.

Найти объём тела, ограниченного поверхностями. Построить тело и его проекцию на плоскость .

1) ; 2) ;

3) ; 4) .