Вопросы для самопроверки.

1. Дайте определение криволинейного интеграла 2 рода.

2. Каковы основные свойства криволинейного интеграла 2 рода?

3. Как производится вычисление криволинейного интеграла 2 рода?

4. Как выглядит формула Грина-Остроградского?

5. Когда можно применять формулу Грина-Остроградского?

6. Каково применение криволинейного интеграла 2 рода?

Элементы теории поля.

Термин «поле» обычно употребляется в физике для обозначения части пространства (или всего пространства), в котором рассматривается некоторое физическое явление.

Пример 13. Электрический заряд создаёт вокруг себя электростатическое поле: на любой электрический заряд, помещённый в некоторой точке поля, действует сила, вполне определённая по величине и направлению (закон Кулона).

Пример 14. Температура воздуха в разных точках пространства образует поле температур, а атмосферное давление – поле давлений.

Поля бывают скалярные и векторные.

Определение. Если каждой точке области поставлена в соответствие скалярная величина , то говорят, что в области задано скалярное поле.

В декартовой системе координат задание скалярного поля равносильно заданию одной функции трёх переменных . Предполагается, что функция - непрерывно-дифференцируема в области .

Замечание. Ограничимся рассмотрением полей, не зависящих от времени. Такие поля называют стационарными.

Рассмотрим примеры скалярных полей.

Пример. Потенциал электростатического поля определяется формулой , где - заряд, а - расстояние от точки до заряда, помещённого в начале координат. Функция определяет скалярное пошлее во всём пространстве, за исключением начала координат, где и потенциал обращается в .

Пример. Функция принимает действительные значения только при . Поэтому в данном случае поле будет определено лишь в части пространства, ограниченной сферой с центром в начале координат. Уравнение этой сферы будет иметь вид .

Определение. Градиентом скалярного поля называется вектор , координатами которого являются проекции скалярного поля на соответствующие координатные оси.

Итак, есть вектор, направленный по нормали к поверхности уровня в сторону возрастания функции и численно равный скорости изменения функции по этому направлению.

Определение. Если каждой точке области пространства поставлена в соответствие векторная величина , то говорят, что в области задано векторное поле.

В декартовой системе координат задание векторного поля равносильно заданию трёх функций трёх переменных , т.е. , где - непрерывно-дифференцируемые функции в области .

Основные характеристики векторного поля

1.Определение. Дивергенцией векторного поля называется скаляр

.

Пример 15. Найти дивергенцию радиус-вектора точки .

Решение: Если - точка, то её радиус-вектор имеет те же координаты, что и сама точка, т.е. . Тогда .

2.Определение. Ротором (вихрем) векторного поля называется вектор

,

характеризующий локальное вращательное движение векторного поля в данной точке.

Пример 16. Найти , если .

Решение: ,

3.Определение. Векторной линией в векторном поле называется кривая, направление которой в каждой её точке совпадает с направлением поля в этой точке.

Векторные линии ещё называют силовыми линиями векторного поля. Они определяются из системы дифференциальных уравнений

4.Определение. Потоком векторного поля через поверхность в сторону, определяемую единичным вектором нормали к поверхности , называется поверхностный интеграл вида

,

где - скалярное произведение вектора поля и единичного вектора выбранного направления нормали к поверхности .

Замечание. Поток вектора есть величина скалярная.

Физический смысл потока.

Если в каждой точке пространства (или некоторой его области)

задан вектор скорости проходящих через эту точку частиц движущейся жидкости, то количество жидкости, протекающее за единицу времени через поверхность (в выбранную сторону), равно

.

Примечание. Особый интерес представляет случай, когда поверхность замкнута и ограничивает некоторый объём . Тогда поток вектора через поверхность можно изобразить в виде

.

В этом случае за направление вектора обычно берут направление внешней нормали.

В точках поверхности, где векторные линии выходят из объёма , жидкость вытекает, внешняя нормаль образует острый угол с вектором и . В точках же поверхности, где векторные линии входят в объём , жидкость втекает, внешняя нормаль образует тупой угол с вектором и . Отсюда следует, что поток вектора, определяемый интегралом , показывает разность между количеством жидкости, вытекающей из объёма и втекающей в него в единицу времени.

Когда жидкость несжимаема, то количество жидкости внутри объёма должно всё время оставаться неизменным. Пусть теперь поток положителен. Это означает, что из объёма вытекает больше жидкости, чем втекает. При постоянстве количества жидкости внутри объёма это возможно только тогда, когда внутри объёма существуют источники, питающие поток. Наоборот, если поток отрицателен, то количество вытекающей жидкости меньше количества жидкости втекающей; следовательно, внутри объёма имеются стоки, поглощающие излишек жидкости. Если в объёме нет ни источников, ни стоков, то количества жидкости, вытекающей и втекающей в объём, равны друг другу и поток вектора должен быть равным нулю.

Можно сказать, что источники – точки, откуда векторные линии начинаются, а стоки - точки, где векторные линии заканчиваются.

Пример. В электростатическом или магнитном поле источниками будут положительные заряды или северный полюс магнита, а стоками – отрицательные заряды или южный полюс магнита.

Рассмотрим некоторую точку векторного поля и заключим её внутри небольшой замкнутой поверхности . Тогда, если иметь в виду физическое значение потока вектора, то можем сказать, что при точка представляет собой источник, откуда жидкость вытекает, а при точка представляет собой сток, поглощающий жидкость. Иначе говоря, в точках поля с векторные линии начинаются, а в точках поля с векторные линии заканчиваются.

Кроме того, интенсивность источника (стока) в точке характеризуется в этой точке и может быть принята равной дивергенции или ей пропорциональной.

Определение. Векторные поля, у которых , называются соленоидальными или трубчатыми.

Такие поля не могут иметь ни источников, ни стоков, а значит и точек, где начинаются или кончаются векторные линии. Векторные линии соленоидального поля либо замкнуты, либо начинаются и кончаются у границ поля (или уходят в ).

Теорема Остроградского-Гаусса.

Поток векторного поля через поверхность равен интегралу от , взятому по объёму , ограниченному поверхностью

,

при этом предполагается, что функции - непрерывны внутри вместе со своими производными.

Следствие. В соленоидальном поле поток вектора через любую замкнутую поверхность равен нулю.

Пример 17. С помощью формулы Остроградского-Гаусса найти поток векторного поля через поверхность пирамиды, образованной плоскостью совместно с координатными плоскостями. Сделать рисунок к задаче.

Решение:

.

Определение. Линейным интегралом векторного поля вдоль ориентированной кривой называется криволинейный интеграл

,

где - радиус-вектор точки, перемещающейся по кривой , представляющий собой работу векторного поля вдоль кривой .

5.Определение. Если контур замкнут, то линейный интеграл называется циркуляцией векторного поля вдоль кривой .

Замечание. Обход по замкнутому контуру считается положительным, если производится против часовой стрелки.

Теорема Стокса. Циркуляция векторного поля по замкнутой линии равна потоку вихря через любую поверхность, лежащую в векторном поле и имеющей свей границей линию

.

Следствие. Теорема Стокса гласит, что поток вихря вектора не зависит от вида поверхности , проходящей через кривую и равен циркуляции вектора по этой кривой.

Поток вихря вектора через замкнутую поверхность равен нулю, так как , т.е. поле вихря является соленоидальным.

Следствие. Если циркуляция векторного поля по любой замкнутой кривой равна нулю (т.е. циркуляция равна нулю), то и поле безвихревое и наоборот.

Определение. Векторное поле называется потенциальным, если его (т.е. работа вдоль любого замкнутого контура равна нулю), т.е. потенциальное поле безвихревое ( ).

Потенциал поля .

Определение. Векторное поле называется гармоническим, если оно потенциально и соленоидально, т.е. и .

Пример 18. Проверить, является ли векторное поле потенциальным, соленоидальным и гармоническим.

Решение:

Следовательно, поле несоленоидально.

.

Следовательно, поле потенциально.

Так как поле потенциально, но несоленоидально, то оно не является гармоническим.

Задачи для самостоятельного решения.

Используя формулу Остроградского- Гаусса вычислить поток векторного поля через замкнутую поверхность , ограниченную плоскостью совместно с координатными плоскостями.

1) ;

2) ;

3) ;

4) ;

5) ;

Выяснить, является ли векторное поле потенциальным, соленоидальным и гармоническим.

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .