10. Удар абсолютно упругих и неупругих тел. Скорости тел после удара.

Удар (или соударение) — это столкновение двух или более тел, при котором взаимодействие длится очень короткое время. Помимо ударов в прямом смысле этого слова (столкновения атомов или биллиардных шаров) сюда можно отнести и такие,  как удар человека о землю при прыжке с трамвая и т. д. Силы взаимодействия между сталкивающимися телами (ударные или мгновенные силы) столь велики, что внешними силами, действующими на них, можно пренебречь. Это позволяет систему тел в процессе их соударения приближенно рассматривать как замкнутую систему и применять к ней законы сохранения.

Тела во время удара претерпевают деформацию. Сущность удара заключается в том, что кинетическая энергия относительного движения соударяющихся тел на короткое время преобразуется в энергию упругой деформации. Во время удара имеет место перераспределение энергии между соударяющимися телами. Наблюдения пока зывают, что относительная скорость тел после удара не достигает своего прежнего значения. Это объясняется тем, что нет идеально упругих тел и идеально гладких поверхностей. Отношение нормальных составляющих относительной скорости тел после и до удара называется коэффициентом восстановления e: ε = ν_n'/ν_n

Абсолютно упругий удар — столкновение двух тел, в результате которого в обоих взаимодействующих телах не остается никаких деформаций и вся кинетическая энергия, которой обладали тела до удара, после удара снова превращается в кинетическую энергию (подчеркнем, что это идеализированный случай).

Для абсолютно упругого удара выполняются закон сохранения импульса и закон сохранения кинетической энергии.

Абсолютно неупругий удар - соударение двух тел, в результате которого тела соединяются, двигаясь дальше как единое целое. Абсолютно неупругий удар можно продемонстрировать с помощью шаров из пластилина (глины), которые движутся навстречу друг другу

Если массы шаров m₁ и m₂, их скорости до удара ν₁ и ν₂, то, используя закон сохранения импульса    где v - скорость движения шаров после удара. Тогда   (15.10)  В случае движения шаров навстречу друг другу они вместе будут продолжать движение в ту сторону, в которую двигался шар с большим импульсом. В частном случае, если массы шаров равны (m₁=m₂), то   

При абсолютно упругом центральном ударе двух одинаковых тел происходит обмен скоростями.

При абсолютно неупругом ударе тела слипаются друг с другом(закон механической энергии не выполняется) , скорость становится единой для тела.

11. Элементы кинематики вращательного движения. Связь линейных характеристик движения точек вращающегося тела. Кинематические уравнения вращения твёрдого тела.

Физические модели: материальная точка, абсолютно твердое тело, абсолютно упругое тело, абсолютно неупругое тело.

Таким образом, связь между линейны­ми (длина пути s, пройденного точкой по дуге окружности радиуса R, линейная ско­рость v, тангенциальное ускорение а_, нор­мальное ускорение а_n) и угловыми величи­нами (угол поворота , угловая скорость (о, угловое ускорение ) выражается сле­дующими формулами:

В случае равнопеременного движения точки по окружности (=const)

где ₀ — начальная угловая скорость.

Таким образом, связь между линейными и угловыми величинами выражается следующими формулами: S = R·φ, υ = ω·R, a_τ = R·ε, a_n = ω²·R.

Для кинематического описания вращения твердого тела удобно использовать угловые величины: угловое перемещение Δφ, угловую скорость ω

и угловое ускорение ε

12. Элементы динамики вращательного движения. Момент силы и момент импульса механической системы. Момент импульса тела относительно неподвижной оси вращения. Момент инерции относительно оси вращения.

Момент силы. Моментом силы F относительно некоторой точки O называется векторная величина M, M=[rF];|rF|=|r||F|Sin ,r-радиус-вектор M=Fl;l=rSin , l-плечо силы

Момент силы

1. Момент силы относительно оси вращения , (1.1) где - проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения, - плечо силы (кратчайшее расстояние от оси вращения до линии действия силы).

2. Момент силы относительно неподвижной точки О (начала координат) . (1.2) Определяется векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в точку приложения силы , на эту силу; - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к («правило буравчика»). Модуль момента силы , (1.3) где - угол между векторами и , - плечо силы, кратчайшее расстояние между линией действия силы и точкой приложения силы.

Момент импульса

1. Момент импульса тела, вращающего относительно оси , (1.4) где - момент инерции тела, - угловая скорость. Момент импульса системы из тел есть векторная сумма моментов импульсов всех тел системы: . (1.5)

2. Момент импульса материальной точки с импульсом относительно неподвижной точки О (начала координат) . (1.6) Определяется векторным произведением радиуса-вектора , проведенного из точки О в материальную точку, на вектор импульса ; - псевдовектор, его направление совпадает с направлением поступательного движения правого винта при его вращении от к («правило буравчика»). Модуль вектора момента импульса , (1.7) где - угол между векторами и , - плечо вектора относительно точки О.

Момент инерции относительно оси вращения

1. Момент инерции материальной точки , (1.8) где - масса точки, - расстояние её от оси вращения.

2. Момент инерции дискретного твердого тела , (1.9) где - элемент массы твердого тела; - расстояние этого элемента от оси вращения; - число элементов тела.

3. Момент инерции в случае непрерывного распределения массы (сплошного твердого тела) . (1.10) Если тело однородно, т.е. его плотность одинакова по всему объему, то используется выражение (1.11), где и объем тела.

4. Теорема Штейнера. Момент инерции тела любой оси вращения равен моменту его инерции относительно параллельной оси, проходящей через центр масс тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния между ними . (1.12)

Моментом импульса вращающегося тела называют физическую величину, равную произведению момента инерции тела I на угловую скорость ω его вращения. Момент импульса обозначается буквой L: 

L = Iω

Поскольку   уравнение вращательного движения можно представить в виде:

Окончательно будем иметь: 

Это уравнение, полученное здесь для случая, когда I = const, справедливо и в общем случае, когда момент инерции тела изменяется в процессе движения.

Если суммарный момент M внешних сил, действующих на тело, равен нулю, то момент импульса L = Iω относительно данной оси сохраняется ΔL = 0, если M = 0

Следовательно, L = Iω = const

Это и есть закон сохранения момента импульса. Иллюстрацией этого закона может служить неупругое вращательное столкновение двух дисков, насажанных на общую ось (

Момент импульса тела относительно неподвижной оси. Для однородного тела, симметричного относительно оси вращения, момент импульса, относительно точки O, лежащей на оси вращения совпадает по направлению с вектором  . В этом случае модуль импульса относительно оси равен M=I . Закон сохранения момента импульса. Этот закон основывается на динамики вращательного движения тела. D/dt(I )=M dL/dt=M.Если сумма моментов сил относительно оси равна 0, то момент импульса данной оси остаётся постоянным. Пример скамья Жуковского.