13. Уравнение динамики вращательного движения твёрдого тела относительно неподвижной оси.

Рассматривая твёрдое тело как неизменную систему материальных точек, для каждой из них можно записать уравнение моментов:

                          .                  (9.1)

В левой части этого уравнения — момент внешних сил относительно оси z, действующий на частицу mi. Справа — производная по времени проекции момента импульса частицы на ту же ось.

Момент импульса частицы относительно центра 0 (по определению) равен:

.

Заметим, что для всех частиц  , поэтому легко вычислить модуль этого вектора Li:

Li = miriVi = miriwRi.

Так как   образует угол ai с осью z, то проекция этого вектора на ось z равна:

            = LiCosai = miriwRiCosai = miwRi(riCosai) = miw .         (9.2)

Учитывая этот результат, перепишем уравнение (9.1) ещё раз:

                          .             (9.3)

Подобные уравнения могут быть составлены для всех точек твёрдого тела.

Просуммировав все эти уравнения, получим закон вращательного движения твёрдого тела:

или

                          .             (9.4)

Здесь:    Mz — суммарный момент всех внешних сил, вращающих твёрдое тело вокруг оси z;

     wz — угловая скорость вращения;

       — новая характеристика твёрдого тела — его момент инерции относительно оси вращения;

     Lz = Izwz — момент импульса тела относительно оси z.

Если момент инерции твёрдого тела Iz не меняется, уравнению (9.4) можно придать такой вид:

                          .                  (9.5)

Здесь ε = — угловое ускорение вращающегося тела.

Уравнение (9.5) называется основным уравнением динамики для твёрдого тела, вращающегося вокруг неподвижной оси.

Mz = Iz×ε                (9.6)

Трудно не заметить сходство этого уравнения со вторым законом Ньютона для движения точки:

Fz = maz

Сравнивая эти два выражения, отметим, что в уравнении для вращательного движения в качества «силы» выступает момент силы, вместо линейного ускорения — угловое, вместо массы используется момент инерции Iz.

Сходство этих уравнений можно продолжить, записав их иначе (9.2)

Здесь:    Lz = Iz wx — момент импульса тела относительно оси z,

     Pz = mVz — проекция вектора импульса частицы на ось z.

Во вращательном движении аналогом импульса Р является момент импульса L.

Рассмотренные аналогии позволяют назвать уравнение (9.6) уравнением второго закона динамики (Ньютона) для вращательного движения:

момент внешних сил, вращающих тело вокруг данной оси, равен моменту инерции тела относительно этой оси, умноженному на угловое ускорение тела.

Вернемся ещё раз к уравнению (9.4):

.

Оно в равной степени справедливо как для твердого тела, так и для системы тел. Если момент внешних сил относительно оси z равен нулю, то момент импульса системы относительно этой же оси будет оставаться постоянным.

Mz = 0, Þ   Þ Lz = Izwz = сonst.

Это  закон сохранения момента импульса — аналог закона сохранения импульса замкнутой системы. Но есть между этими законами одно существенное различие. Постоянство импульса частицы (если её масса не меняется) означает неизменность её линейной скорости:

p = mV = сonst. Þ V = сonst.

Если же не меняется момент импульса тела (Lz), то это не означает постоянства угловой скорости:

Lz = Izw = сonst.

Изменение момента инерции вращающегося тела приведёт к изменению его угловой скорости даже в случае отсутствия внешних вращающих моментов. При этом сохранится неизменным произведение Iz × w = сonst., то есть угловая скорость окажется обратно пропорциональной моменту инерции тела (системы):

.