30.Непрерывность функций. Точки разрыва функции, их классификация.

Функция у=f(x) называется непрерывной в точке , если она определена некоторой окрестностью этой точки и предел . C геометрической точки зрения непрерывность функции означает, что график функции не имеет «разрывов».

Точка х₀ наз. точкой разрыва функции f(x), если в этой точке нарушается условие непрерывности, т.е. либо , либо .

Точки разрыва можно разбить на 2 класса:

а)1-го рода, для которых и существуют, но не равны f(x₀);

б) 2-го рода, для которых хотя бы один из пределов или не существует или бесконечен или оба предела существуют.

Точки разрыва 1-го рода наз. также точками устранимого разрыва или конечного скачка, а 2-го рода точками бесконечного разрыва.

Если конечны , но не равны, то их разность – наз. скачком функции.

Среди точек разрыва 1-го рода выделяют точки устранимого разрыва – точки для которых = но они ≠ f(x₀). Этот разрыв можно устранить, доопределив функцию

f(x₀)= = .

31.Свойства функций непрерывных на отрезке.

Функция y = f(x) наз. непрерывной на отрезке [a;b] если она непрерывна на интервале [a;b] и в точке a непрерывна справа, а в точке b – слева.

Свойства:

1)Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она достигает на нём своих наибольшего и наименьшего значений; т.е. существуют точки х₁ и х₂ € [a;b] такие, что f(x₁) ≤ f(x) ≤ f(x₂) для любого х € [a;b].

2)Непрерывная на отрезке функция ограничена на нём.

3)Если функция непрерывна на отрезке, а на концах принимает значения разных знаков, то найдётся точка отрезка в которой значение функции = 0.

4)Непрерывная на отрезке функция достигает на нём своих всех промежуточных значений между наибольшим и наименьшим.

5)Функция непрерывная на отрезке равномерно непрерывна на нём.

32. Производная. Её геометрический и механический смысл.

Пусть функция у=f(x) определена в некоторой окрестности точки х0, если переменная х получит приращение ∆х, то переменная у получит приращение ∆у=∆у(х0)= ∆f(х0)=f(х0+∆х)-f(х0)

Опр.1 Производной функции у=f(x) в т. х0 называется =

Производная функции f(x) в т. х обознач. у’=у’(x)=f’(x)= df/dx=dy/dx

При каждом конкретном значении х производная (если она сущ.) представляет собой некоторое число, таким образом конечному знач. х ставится в соотв. f’(x). Полученная функция как бы произведена от f(x). Этим объясняется понятие производной. Операция нахождения производной назыв. дифференцированием. Пусть кривая l является гр. функц. у=f(x) и точка М0(х0;f(x0))принадл. L. Рассмотрим некоторую секущую М0М

Угловой коэффициент секущей tg ɸ=∆y/∆x, если т. М движ. По кривой в т. М0, то сек. М0М стемится к некоторому предельному положению наз. касательной, угловой коэф. которой К= = =y’(x0).

Таким образом геометрический смысл произв. следующий: производная ф. в т. х₀ равна угл. коэф. касательной и гр. функции у=f(x) в т. х₀: y-f(x0)=f’(x0)(x-x0)

C механической точки зрения произв. ф. представляет собой мгновенную скорость процесса. Например произв. пути по времени- скорость, произв. скороти- ускорение.

Опр 2: Функция y=f(x) назыв. дифференцируемой в т. х₀, если она имеет в т х₀ конечную произв.

Функция назыв. дифференцируемой, если она дифф. в каждой точке интервала.

Т1: Если функция f(x) диффер в т. х₀, то она в этой точке непрерывна.

Док-во: = = * =f’(x0)*0

Замечание: Утверждение ,обратное т1 не имеет места. Например у= непрерывна в т. х=0, но не фифференцируема или ф. у= непрерывна в т. х=0, но не дифф. в ней.