36.Дифференциал функции и его приложения.

Под дифференциалом функции dy функции y=f(x) понимается главная часть её приращения ∆у, пропорциональная приращению ∆х независимой х.

Дифференциал dx независимой переменной х равен её приращению dx=∆x.

Дифференциал любой дифференцируемой функции y=f(x) равен произведению её производной на дифференциал независимой переменной dy=f’(x)dx

Из формулы dy=f’(x)dx вытекает представление производ. в виде частного двух дифференциалов f‘(x)=dy/dx

Если ∆х достаточно мало по модулю, то с точностью до бесконечно малых более высокого порядка малости, чем ∆х, имеет место приближённое равенство ∆у≈dy или

f(x+∆x)≈f(x)+f’(x)*∆x

Соотношение f(x+∆x)≈f(x)+f’(x)*∆x используют в приближённых вычислениях.

37. Условия возрастания и убывания функций. Экстремумы.

Функция называется возрастающей (убывающей) в некотором промежутке, если в этом промежутке каждому большему значению аргумента соответствует большее (меньшее) значение функции. возрастающие, как и убывающие функции, называются монотонными. Возрастание и убывание функции y = f{x) определяется знаком ее производной: если в некотором интервале f'(x) > 0, то функция возрастает, а если f'(x) < 0, то функция убывает в этом интервале.

Первое правило нахождения экстремумов функции f(x) (по первой производной):

• Находим область определения функции D(f)•

• Ищем первую производную функции f '(x).

• Находим критические точки первой производной.

• Определяем знак производной f '(x). слева и справа от крити­ческой точки, в которой функция непрерывна. Если знак изменяется с плюса на минус, то в данной точке функция имеет максимум, если с минуса на плюс, то - минимум. Если же знак производной не изме­няется, то в данной точке экстремума нет.

Второе правило нахождения точек экстремума (по второй производной):

• Находим область определения функции D(f).

• Ищем первую производную функции f '(x)

• Находим точки, в которых f '(x) = 0, а функция f(х) непре­рывна.

• Ищем вторую производную f "(x)

• Во вторую производную f "(x) подставляем каждое из значе­ний, полученных в п. 3. Если f "(х_о)>0; то в точке х₀ функция име­ет минимум, если f "(х_о)<0, то - максимум. Если f ”(х_о) = 0, то вопрос о наличии экстремума остается открытым (можно воспользо­ваться первым правилом).

38. Выпуклость. Точки перегиба. Достаточное условие существования точек перегиба

Кривая называется выпуклой (вогнутой) в некотором промежутке , если она расположена ниже (выше) касательной , проведенной к кривой в любой точке этого промежутка . Выпуклость или вогнутость кривой, являющейся графиком функции у = f(x).Характеризуется знаком второй производной f“(x) > 0 , а именно: если в некотором про­межутке f “(х)>О, то кривая вогнута, если f “(х)<0, то кривая выпуклая в этом промежутке. Следовательно, нахождение промежутков выпуклости и вогнуто­сти сводится к нахождению промежутков знакопостоянства ее второй производной f ‘’(х).

Точкой перегиба кривой называется такая ее точка, которая отде­ляет участок выпуклости от участка вогнутости.

Точками перегиба графика функции y = f(х) могут быть только точки, в которых вторая производная изменяет свой знак, т.е. точки, находящиеся внутри области определения функции f(x)в которых вторая производнаяf ‘’(х) обращается в нуль или терпит разрыв. Такие точки называются критическими точками второй производной.

Точками перегиба графика функции у= f(х) будут лишь те критические точки второй производной, при переходе через которые f ‘’(x) меняет знак.

Отсюда получаем правило нахождения промежутков выпуклости и вогнутости и точек перегиба графика функции:

1)Находим область определении функцииD(f).

2) Ищем 2-ую производную функцииf f (x).

3) Определяем точки, в которых вторая производная f ‘’(x) обращается в нуль или терпит разрыв (критические точки 2-ой производной)|4)Находим промежутки, на которые разбивают области определенияD(f) критические точки.5)Определяем знак f ‘’(x) на каждом из полученных промежутков: если f‘’(x)> о, то это промежуток вогнутости; если же f’’(x)< О, то это промежуток выпуклости.

6)Те из граничных точек промежутков, в которых функции f(x) непрерывна, а вторая производная f’’(x) изменяет свой знак при переходе через них, являются точками перегиба:

При нахождении интервалов выпуклости и вогнутости и точек перегиба удобно результаты исследования записывать и таблицу из­менения знаков второй производной.