3. Особенности применения метода.

Применение принципа максимума позволяет заменить вариационную задачу отыскания экстремума функционала качества J(x,u) по управлению u более простой задачей определения параметра u, обеспечивающего максимум функции H(u) (отсюда и название максимума).

При оптимальном управлении функции H(t) и постоянны во времени и , . Решая задачу оптимального управления с использованием принципа максимума, прежде всего определяется максимум функции Гамильтона относительно управления u(t). Затем отыскивается оптимальное управление как функция от вспомогательной функции . После этого выражение для управления u представляется в исходную и сопряженную системы дифференциальных уравнений для вычисления векторов x(t) и . Далее окончательно получают управление как функцию времени u(t).

5. Принцип оптимальности. Функциональное уравнение метода динамического программирования. Особенности практического применения метода динамического программирования

1.Принцип оптимальности.

Рассмотрим задачу об оптимальном стабилизирующем управлении.

Пусть дан объект управления, описываемый уравнениями

(1)

Требуется найти закон управления

(2)

чтобы на движениях системы (1), (2), возбужденных произвольными начальными отклонениями, минимизировался функционал

(3)

При этом на управления (2) наложены ограничения uU. Для определенности часто будем полагать, что

(4)

где - заданные числа.

Отметим, что эта задача является вариационной задачей со свободным правым концом и фиксированным t₁.

Заданы n=2, a m=1. В этом случае уравнения (1) и (2) примут вид:

(1)

(2)

а функционал (3) запишется, если опустить для простоты t в φ₀, как

(3)

Переходя к принципу оптимальности, допустим, что оптимальное управление (2) найдено. Этому управлению соответствует оптимальная траектория x₁(t), x₂(t), которую можно вычислить, подставляя в уравнения (1) функцию (2) и интегрируя (1) при некотором начальном условии x₁(t₀), x₂(t₀). Эта траектория приведена на рис.1.

Отметим какую-либо точку x на оптимальной траектории и назовем участок между точкой x⁽⁰⁾={x₁(t₀), x₂(t₀)} и точкой x={x₁(t), x₂(t)} первым (траектория 1), а участок между точками x={x₁(t), x₂(t)} и x⁽¹⁾={x₁(t₁), x₂(t₁)} назовем вторым участком траектории (траектория 2).

Принцип оптимальности: независимо от того, каким путем система (1) достигла в момент времени t точки {x₁(t), x₂(t)}, её оптимальным последующим движением будет траектория 2.

Другими словами, второй участок оптимальной траектории является оптимальной траекторией. Это означает, что, если система, начав движение из точки x⁽⁰⁾, оказалась в момент времени t в точке x, то оптимальное движение из этой точки будет совпадать с траекторией 2.

Действительно, пусть движение из точки x продолжается не по траектории 2, а по траектории 2 и при этом движении функционал

принимает меньшее значение, чем на траектории 2. Тогда значение функционала (3) на траектории 1 - 2 будет меньшим, чем на траектории 1 – 2. Это противоречит предположению об оптимальности u.