8. Квазиоптимальное управление. Влияние вариаций параметров и возмущений на динамику оптимальной системы.

Пусть имеется объект управления, описываемый уравнением , где f- внешнее возмущение.

Применяя принцип максимума для поиска оптимальных по быстродействию систем в предыдущей лекции были получены траектории состояния для такого объекта. Ими оказались параболы:

(1)

или

(2)

(3)

Эти параболы, соответствующие значениям u, равным +1 и –1, приведены на рис. 1, 2.

Для приведения объекта в равновесное состояние х₁=х₂=0 рассматривались те ветви парабол, которые приводят фазовую траекторию в начало координат, образуют линию переключения, приведенную на рис. 3.

Реальный объект находится под воздействием реальной среды движения, параметры которой могут быть отличны от расчетных. Кроме того, параметры самого объекта также способны изменяться. Все эти факторы оказывают влияние на динамику объекта управления, что выражается величиной f в уравнении

На плоскости состояния это отражается в деформации парабол, по которым перемещается изображающая точка.

(4)

или

(5)

(6)

На рис. показаны для расчетных значений параметров и воздействий линия переключения L и оптимальная по быстродействию траектория состояния n₀n₁0.

Рассмотрим, как изменится траектория состояния оптимальной системы при вариации параметров и возмущения. Положим, что L₁ – новая линия переключения системы, но в программе ВУ системы никаких изменений не произошло и система остается настроенной на исходную линию переключения L.

Изображающая точка системы из исходной точки n₀ будет перемещаться уже по другой траектории n₀n’₁ до выхода на линию переключения L, в точке n’₁ произойдет смена управления на –u_max, но изображающая точка будет перемещаться не по исходной линии переключения L, а по реальной траектории состояния n’₁n₂ более сжатой по оси ординат , что приводит к перемещениям с меньшими скоростями.

В новой точке n₂ на линии переключения L вновь изменяется управление на + u_max и изображающая точка начинает перемещаться по более крутой реальной траектории, и оказывается вновь слева от расчетной линии переключения L. Это приводит к изменению управления - u_max и движению изображающей точки до пересечения с линией переключения L и новым управлением + u_max. Такое движение называют скользящим режимом, так как последовательное изменение знака управления приводит как бы к скольжению изображающей точки вдоль линии скольжения на участке n₂0.

Сравнивая оптимальную траекторию n₀n₁0 системы до изменения параметров или возмущения с реальной траекторией n₀n’₁n₂0 после отклонения этих параметров и возмущения, можно сделать выводы:

1. Быстродействие системы значительно уменьшилось.

2. Характер движения системы стал колебательным, поскольку ошибка  меняет свой знак.

Для возможной компенсации влияния вариации параметров на динамику оптимальной системы переходят к квазиоптимальному управлению, при котором обеспечивается режим, близкий к оптимальному. Квазиоптимальный режим рассчитывается из условия учета влияния наихудшей комбинации вариаций исследуемых параметров и возмущений на динамический процесс системы.