16) Многомерные дискретные случайные величины: определение, совместный закон распределения, одномерные и условные законы распределения.
Многомерная случайная величина называется дискретной, если составляющие ее случайные величины являются дискретными. Многомерная дискретная случайная величина полностью определяется набором значений вероятностей
Pi, ….im =P(о1=Xi1, … оm=Xim) заданных для любой комбинации значений Xi1 …..Xim случайных величин о1 …. оm.. Функция распределения в этом случае выражается через вероятности
Pi, ….im следующей формулой: F(X1,…. Xm)=У до Xi1≤X1 … Xim≤Xm * Pi, … im.
Совместный закон распределения (Х,У,Z …) запишем случ величины, которые определены на одном вероятностном пространстве (Щ,F,Р) (Х,У)дискретные случ величины.
Хi; Yi. X1 X2 … Xn
y1 P11 P21 … Pn1
y2 P12 P22 … Pn2
… …. …. … … Pij =P{X=xi; Y=yj }≥0
yk P1k P2k …Pnk УУ Pij =1
Условным законом распределения называется распределение одной случайной величины, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение. Условный закон распределения можно задавать как функцией так и плотностью распределения. Условные плотности для непрерывных составляющих X и Y определяются так
f(x/y) = f(x, y)/fу(y), fу (y)№ 0; f(y/x) = f(x, y)/fх(x), fх (x)№ 0.
;
Одномерные законы распределения составляющих системы случайных величин называют маргинальными законами распределения. Маргинальный закон распределения был получен из совместного закона. По маргинальным законам совместный не восстанавливается, но если известно, что компоненты Х,У не зависимы, то тогда совместный закон восстановить можно.
17) Абсолютно непрерывные двумерные величины: двумерная, одномерные и условные плотности распределения
Непрерывную двумерную величину можно задать пользуясь плотностью распределения f(x,y). Предположим, что функция распределения F(x,y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную второго порядка.
Условной плотностью распределения вероятностей случайной величины Y по отношению к величине X называют плотность распределения вероятностей величины Y, вычисленную при условии, что величина X приняла значение x. Обозначают f(y|x). Можно показать, что для двух непрерывных величин.
Двумерная величина (X,Y) является
непрерывной, если ее функция
распределения F(х,у) представляет
собой непрерывную, дифференцируемою
функцию по каждому из аргументов и
существует вторая смешанная производная
f(x, y) = f(y | x) ⋅ fX(x)
и f(x, y) = f(x | y) ⋅
fY(y).
Двухмерная плотность распределения вероятностей равна произведению условной плотности распределения вероятности одной из этих величин по отношению к другой на безусловную плотность распределения вероятности второй величины. Для восстановления двухмерной плотности необходимо знать одну из условных плотностей и соответствующую одномерную плотность. f(x, y) = fX(x) ⋅ fy(y) Это равенство является признаком независимости случайных величин.
Одномерные плотности распределения составляющих системы случайных величин называют маргинальными плотностями распределения. Случайная величина (Х,У) имеет совместную плотность f(x.y) : f(x.y)≥0 и ∫∫ до R2 f(x.y)dxdy=1, можно говорить о маргинальных плотностях.
Х: f1(x)=∫ от ∞ до -∞ f(x.y)dy У: f2(x)=∫ от ∞ до -∞ f(x.y)dx