18) Плотность двумерного нормального распределения, смысл параметров распределения.

Плотность двумерного нормального распределения записывается также в виде

f(x1,x2)= 1/ 2п у1у2 * √1-p² *exp{- 1/ 2(1-p²) [(x1-m1)² / у²₁ – p² * (x1-m1)(x2-m2) / у1у2 + (x2-m2)² / у²₂ ]}, где Двумерный случайный вектор о = (о1,о2) имеет нормальное распределение, если его плотность равна f(x)= 1/ 2п√det C * exp{-1/2 (x-m)^T C^-1 (x-m)}

m= (Eо1, Eо2) – вектор математического ожидания

С= (Cov_ij) = (Cov11 Cov12 - Ковариационная матрица

Cov21 Cov22)

Det C= Cov11 * Cov22 – Cov₁₂² = у₁² у₂² (1-p²) –определитель ковариационной матрицы

P= Cov12 / у1 у2 = E(о1-m1)(о2-m2)/ у1 у2 — коэффициент корреляции случайных величин о1 и о2.

Параметры распределения - это его числовые характеристики, указывающие, где "в среднем" располагаются значения признака, на­сколько эти значения изменчивы и наблюдается ли преимущественное появление определенных значений признака.

19) Совместная плотность двух независимых нормально распределенных случайных величин. Доказать утверждение: если двумерная случайная величина имеет нормальное распределение и , то - независимые случайные величины.

Пусть у функции существуют производные по , , а также вторая смешанная производная. Совместной (или двумерной) плотностью распределения вероятностей случайных величин и называется функция

Функция в этом случае называется совместной плотностью распределения.

Событие А и B независимы, если Р(АВ)=Р(А)*Р(В). Случайная величина Х и У независимы когда совместно событие Р(Х=х, У=у)= Р(Х=х)*Р(У=у). Для абсолютно непрерывных плотность f(x,y)= f(x)*f(y), поэтому cov(X,Y)=E(X-EX)*(Y-EY)=E(X*Y)→ EX=0, EY=0 для упрощения записи. → У до i У до j x_i * y_j P(X=x_i, Y=y_j)= если Х,У независимы = У до i У до j x_i * y_j P(X=x_i)*P(Y=y_j)= У до i x_i P(X=x_i) * У до j y_j P(Y=y_j)= EX*EY=0 Если случайные независимы, то cov(X,Y)=0

3.6 Законы распределений выборочных характеристик, используемые при оценке параметров.

8. Проверка статистических гипотез о параметрах распределения.

Статистической гипотезой называется любое предположение о виде неизвестного закона распределения или о параметрах известных распределений. Предположим, что на основании имеющихся данных есть основания выдвинуть предположения о законе распределения или о параметре закона распределения случайной величины (или генеральной совокупности, на множестве объектов которой определена эта случайная величина). Задача проверки статистической гипотезы заключается в подтверждении или опровержении этого предположения на основании выборочных (экспериментальных) данных.

Проверка статистической гипотезы означает проверку соответствия выборочных данных выдвинутой гипотезе. Параллельно с выдвигаемой основной гипотезой, рассматривают и противоречащую ей гипотезу, которая называется конкурирующей или альтернативной. Альтернативная гипотеза считается справедливой, если основная выдвинутая гипотеза отвергается. При проверке статистических гипотез существует вероятность допустить ошибку, приняв или опровергнув верную гипотезу. Уровнем значимости (а) называется вероятность совершения ошибки первого рода. Значение уровня значимости а обычно задается близким к нулю (например, 0,05; 0,01; 0,02 и т. д.), потому, что чем меньше значение уровня значимости, тем меньше вероятность совершить ошибку первого рода, состоящую в опровержении верной гипотезы Н0. Р-статистическая достоверность принятия верной гипотезы. Проверка справедливости статистических гипотез осуществляется с помощью различных статистических критериев. В статистике чаще всего пользуются тремя уровнями значимости:

α=0,10, тогда Р=0,90 (в 10 случаях из 100)

α=0,05, тогда Р=0,95 ( в 5 случаях из 100)

α=0,01, тогда Р=0,99 (в 1 случае из 100) может быть отвергнута правильная гипотеза

Статистическим критерием называется случайная величина, которая используется с целью проверки нулевой гипотезы. Статистические критерии называются соответственно по тому закону распределения, которому они подчиняются, т. е. F-критерий подчиняется распределению Фишера-Снедекора, χ2-критерий подчиняется χ2-распределению, Т-критерий подчиняется распределению Стьюдента, U-критерий подчиняется нормальному распределению.

Областью принятия гипотезы или областью допустимых значений называется множество возможных значений статистического критерия, при которых основная гипотеза принимается. Если наблюдаемое значение статистического критерия, рассчитанное по данным выборочной совокупности, принадлежит критической области, то основная гипотеза отвергается. Если наблюдаемое значение статистического критерия принадлежит области принятия гипотезы, то основная гипотеза принимается.