Уравнение неразрывности
Движение жидкостей называется течением, а множество частиц движущейся жидкости - потоком. Графически движение жидкостей изображается с помощью линий тока, которые рисуются таким образом, что касательные к ним совпадают по направлению с вектором скорости жидкости в соответствующих точках пространства (рис. 1).
Рис.1
Линии тока рисуются так, чтобы густота их, которая характеризует отношение числа линий к площади перпендикулярной им площадки, через которую они проходят, была больше там, где больше скорость течения жидкости, и меньше там, где жидкость течет медленнее. Значит, по картине линий тока можно оценивать направление и модуль скорости в разных точках пространства, т. е. можно оценить состояние движения жидкости. Линии тока в жидкости можно обнаружить, например, подмешав в нее какие-либо заметные взвешенные частицы. Часть жидкости, ограниченную линиями тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (илистационарным), если расположение и форма линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем остаются постоянными. Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S1 и S2, перпендикулярные направлению скорости (рис.2).
Рис.2
За время Δt через сечение S проходит объем жидкости SvΔt; следовательно, за 1 с через S1 пройдет объем жидкости S1ν1, где ν1 - скорость течения жидкости в месте сечения S1. Через сечение S1 за 1 с пройдет объем жидкости S2ν2, где ν2 - скорость течения жидкости в месте сечения S2. Мы предположили, что скорость жидкости в сечении постоянна. Если жидкость несжимаема (ρ=const), то через сечение S2 пройдет такой же объем жидкости, как и через сечение S1, т. е. S1ν1=S2ν2 (1) Следовательно, произведение скорости течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть величина постоянная для данной трубки тока. Соотношение (1) называется уравнением неразрывности для несжимаемой жидкости.
Теорема Остроградского-Гаусса |
|
|
|
Итак, по определению, поток вектора напряженности электрического поля равен числу линий напряженности, пересекающих поверхность S. Рассмотрим рис. 2.8. Для данной конфигурации поток вектора напряженности через произвольную элементарную площадку dS будет равен:
Т.е.
в однородном поле
Рис. 2.8
Здесь
Подсчитаем
поток вектора
Рис. 2.9 Центр сферы совпадает с центром заряда. Радиус сферы S1 равен R1. В каждой точке поверхности S1 проекция на направление внешней нормали одинакова и равна:
Тогда поток через S1
Подсчитаем поток через сферу S2, имеющую радиус R2:
Из
непрерывности линии
Линии напряженности начинаются и заканчиваются на зарядах (или в бесконечности). Полученный результат справедлив не только для одного заряда, но и для любого числа произвольно расположенных зарядов, находящихся внутри поверхности: <
Поток вектора напряженности электрического поля через замкнутую поверхность в вакууме равен алгебраической сумме всех зарядов, расположенных внутри поверхности, деленной на ε0. При вычислении потока через замкнутую поверхность, вектор нормали следует считать направленным наружу. Линии , выходящие из объема, ограниченного данной поверхностью, создаютположительный поток, линии же, входящие в объем – отрицательный поток. Если между нашими сферами расположить ещё одну поверхность S3, не охватывающую заряд, то, как видно из рисунка 2.9, каждая линия напряженности будет дважды пересекать эту поверхность: один раз с положительной стороны – войдет в поверхность S3, другой раз – с отрицательной стороны – выйдет из поверхности S3. В результате алгебраическая сумма линий напряженности, проходящая через замкнутую поверхность S3 будет равна нулю, т.е. полныйпоток, проходящий черезS3, равен нулю. Таким образом, для точечного заряда q, полный поток через любую замкнутую поверхность S будет равен:
этот результат не зависит от формы поверхности, и знак потока совпадает со знаком заряда.
В
общем случае электрические заряды
могут быть «размазаны» с некоторой
объемной плотностью Суммарный заряд объема dV будет равен:
Тогда из теоремы Гаусса (2.3.4) можно получить:
– это ещё одна форма записи теоремы Остроградского–Гаусса, если заряд неравномерно распределен по объему.
Необходимо
обратить внимание на следующее
обстоятельство: в то время как само
поле
зависит
от конфигурации всех зарядов,
поток |
В
произвольном электрическом поле
,
т.е. ориентация dS в
пространстве задается с помощью
единичного вектора 
.
Таким образом, направление
вектора 
совпадает
с направлением
внешней
нормали к поверхности.
через
произвольную замкнутую поверхность S,
окружающую точечный заряд q (рис.
2.9). Окружим заряд q сферой S1.
следует,
что поток и через любую
произвольную поверхность S будет
равен этой же величине:
– теорема
Гаусса для одного заряда.
– теорема
Гаусса для нескольких зарядов.
–
если
заряд расположен внутри замкнутой
поверхности;
–
если
заряд расположен вне замкнутой
поверхности;
различной
в разных местах пространства. Здесь
dV
–физически
бесконечно малый объем,
под которым следует понимать такойобъем,
который с одной стороны достаточно
мал, чтобы в пределах его плотность
заряда считать одинаковой, а с другой
– достаточно велик, чтобы
не могла проявиться дискретность
заряда,
т.е. то, что любой заряд кратен целому
числу элементарных зарядов
электрона 
или
протона 
.
сквозь
произвольную замкнутую поверхность
определяется только алгебраической
суммой зарядов внутри поверхности S.
Это значит, что если
передвинуть заряды,
то
изменится
всюду,
и на поверхности S,
а поток
вектора
через
эту поверхность останется прежним.