[Править]Вывод преобразований

Основная статья: Вывод преобразований Лоренца

Преобразования Лоренца могут быть получены абстрактно, из групповых соображений (в этом случае они получаются с неопределённым  ), как обобщениепреобразований Галилея (что было проделано Анри Пуанкаре — см. ниже). Однако впервые они были получены как преобразования, относительно которых ковариантныуравнения Максвелла (то есть по сути — которые не меняют вида законов электродинамики и оптики при переходе к другой системе отсчёта). Могут также быть получены из предположения линейности преобразований и постулата одинаковости скорости света во всех системах отсчёта (являющегося упрощённой формулировкой требования ковариантности электродинамики относительно искомых преобразований, и распространением принципа равноправия инерциальных систем отсчёта — принципа относительности — на электродинамику), как это делается в специальной теории относительности (СТО) (при этом   в преобразованиях Лоренца получается определённым и совпадает со скоростью света).

Надо заметить, что если не ограничивать класс преобразований координат линейными, то первый закон Ньютона выполняется не только для преобразований Лоренца, а для более широкого класса дробно-линейных преобразований^[3] (однако этот более широкий класс преобразований — за исключением, конечно, частного случая преобразований Лоренца — не сохраняет метрику постоянной).

[Править]Разные формы записи преобразований [править]Вид преобразований при произвольной ориентации осей

В силу произвольности введения осей координат, многие задачи можно свести к указанному случаю. Если же задача требует иного расположения осей, то можно воспользоваться формулами преобразований в более общем случае. Для этого радиус-вектор точки

где   — орты, надо разбить на составляющую   параллельную скорости и составляющую   ей перпендикулярную

Тогда преобразования получат вид

где   — абсолютная величина скорости,   — абсолютная величина продольной составляющей радиус-вектора.

Эти формулы для случая параллельных осей, но с произвольно направленной скоростью, можно преобразовать к виду, впервые полученному Герглоцем:

.

Обратите внимание, что самый общий случай, когда начала координат не совпадают в нулевой момент времени, здесь не приведён с целью экономии места. Его можно получить, добавив к преобразованиям Лоренца трансляцию (смещение начала координат).

[Править]Преобразования Лоренца в матричном виде

Для случая коллинеарных осей преобразования Лоренца записываются в виде

где Лоренц-фактор 

При произвольной ориентации осей, в форме 4-векторов это преобразование записывается как:

где   — единичная матрица     — тензорное умножение трёхмерных векторов.

Как уже отмечено выше, надо иметь в виду, что в литературе матрица преобразований Лоренца часто записывается для упрощения в системе единиц, где 

Произвольное однородное преобразование Лоренца можно представить как некоторую композицию вращений пространства и элементарных преобразований Лоренца, затрагивающих только время и одну из координат. Это следует из алгебраической теоремы о разложении произвольного вращения на простые.

Физический смысл: числитель пропорционален динамическому напору потока (силам инерции), а знаменатель - силам вязкого (молекулярного) трения.   Но уравнение не отражает физического содержания критерия Рейнольдса, так как этот критерий не является отношением двух динамических вязкостей. На самом деле критерий Рейнольдса является отношением сил инерции, действующих в потоке, к силам вязкости. А к уравнению приходят после подстановки выражений для сил инерции и сил вязкости и последующего сокращения ряда сомножителей в числителе и знаменателе. Область Re = 2100 - 3000 (так называемая переходная область) разделяет области ламинарного течения ( Re<2100) и область турбулентного течения (Re>3000).  Определенный таким образом критерий Рейнольдса не является уже универсальным, определяющим характер течения, поскольку это течение зависит дополнительно от конструкции аппарата с мешалкой (мешалка и сосуд), что в формуле не отражено.  Это - основной недостаток данного определения, препятствующий универсальному применению полученного критерия Рейнольдса для анализа многих процессов, реализуемых в аппаратах с мешалками. Поэтому до настоящего времени для каждого аппарата с мешалкой разрабатываются отдельные формулы для определения мощности, расходуемой на перемешивание, и т. д. Эталоном перехода ламинарного течения в турбулентное в данном случае является не классический опыт Реинольдса , а анализ графиков различных зависимостей (например, характеристик мощности, расходуемой на перемешивание).  В литературе можно встретить и другие предложения по определению критерия Реинольдса для процессов перемешивания. Так, например, Вишневский, Глуханов и Ковалев предлагают определять критерий Реинольдса для кольцевого сечения между мешалкой и сосудом. В качестве эталонной авторы приняли мешалку с двумя плоскими лопатками, для которой к = 1. Для различных турбинных мешалок авторы нашли значения к = 0,59-1-1,34. Самое низкое значение к относится к мешалке с четырьмя лопатками, установленными под углом 45, самое высокое - к открытой турбинной мешалке с шестью прямыми лопатками.  Приняв такое определение критерия Реинольдса, авторы описали одним уравнением коэффициенты массоотдачи при растворении твердого тела для всех исследованных мешалок. Новые предложения по определению критерия Реинольдса можно встретить для случая перемешивания дисперсных систем. В таких системах основным параметром для описания коэффициентов массоотдачи и размеров диспергированных частиц (капель, пузырьков) является не абсолютная скорость жидкости, а местные флуктуации скорости на пути, равном диаметру частицы dr. Отсюда критерий Реинольдса.