Учтем теперь наличие спина у частиц и сконструируем полные функции состояния, зависящие как от пространственных, так и от спиновых переменных.

Если взаимодействие орбитального и спинового моментов мало, то полную функцию состояния можно представить в виде произведения функции , зависящей от пространственных координат частиц , , и функции спиновых координат , :

. (15.19)

Построенная таким образом -функция будет удовлетворять уравнению Шрёдингера, если его решением будет координатная часть . Это следует из того, что в гамильтониан не входят операторы, действующие на спиновые переменные . Очевидно, что функция будет симметричной, если и одновременно симметричны либо антисимметричны:

; . (15.20)

Аналогично, если одна из функций (например, ) симметрична, а другая (в выбранном примере ) антисимметрична, то произведение их будет функцией, антисимметричной относительно перестановки частиц. Следовательно, имеются две возможности для получения антисимметричной функции :

; . (15.21)

45-46см№48.Симметр-ые св0ва ф-ий состояния с-м тождественных частиц.Т Паули. Свойство симметрии функции состояния системы одинаковых частиц может зависеть только от природы самих частиц. И, действительно, симметрия -функции определяется только спином частицы. Если спин частицы целочисленный ( 0, 1, 2,…) то -функция системы частиц будет симметричной; если спин частицы полуцелый ( 1/2, 3/2, …), то -функция системы частиц будет антисимметричной. Эти утверждения составляют содержание теоремы Паули.

Частицы, состояния которых описываются симметричными волновыми функциями, называют бозонами^², а частицы, которым соответствуют антисимметричные волновые функции, называют фермионами^³. В релятивистской теории поля показано, что бозоны обладают целочисленным спином, а фермионы – полуцелым спином. Эти факты подтверждены экспериментально. Если система состоит из одинаковых бозонов, то ее -функция симметрична по отношению к перестановке любой пары частиц. Если система, состоит из одинаковых фермионов, то -функция меняет знак при перестановке любой пары частиц, то есть является антисимметричной.

Электроны ( ) являются фермионами, следовательно, системы электронов встречаются в природе только в состояниях, описываемых антисимметричными волновыми функциями.

Применяя формулу (15.18) для системы двух электронов, находящихся в атоме в одном и том же квантовом состоянии, получим волновую функцию = 0, что означает невозможность такого состояния. На этом основании можно заключить, что в определенном квантовом состоянии в атоме может находиться не более одного электрона. Это положение называют принципом Паули, или принципом исключения; первоначально он был сформулирован В.Э. Паули как обобщение экспериментальных фактов – ещё до создания квантовой механики.

На состояния бозонов принцип симметрии собственных функций не налагает никаких ограничений, аналогичных запрету Паули. В одном и том же состоянии может находиться любое число одинаковых бозонов.

47.Атом Не. УШ для 2-ух эл-ов. Для простейшего двухэлектронного атома – атома гелия, если не учитывать спинов, задача сводится к решению уравнения Шрёдингера для системы с двумя электронами. Требования, предъявляемые к -функции, остаются теми же, что и для системы с одним электроном (смотри лекцию 5).

Для стационарного состояния уравнение Шрёдингера записывается в виде

, (16.1)

где зависит от координат обоих электронов; – энергия стационарного состояния;

(16.2) и

(16.3)

– гамильтонианы первого и второго электронов в отсутствие взаимодействия между ними; – часть полного гамильтониана, учитывающая взаимодействие электронов; , – радиусы-векторы, определяющие положение электронов относительно ядра; – расстояние между электронами; (для гелия).

Трудность задачи об атоме гелия обусловлена наличием в (16.1) члена , зависящего от координат обоих электронов. Из-за этого уравнение (16.1) не имеет решений с разделяющимися переменными. Однако если считать малой добавкой, то можно воспользоваться методами теории возмущений. При этом в нулевом приближении получим