11. Лоду n-го порядка с постоянными коэффициентами
Частным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ n-го порядка (n>2) с постоянными коэффициентами: y(n) + p1y(n – 1) + p2y(n – 2) + … + pny = 0, где pi ,
i
= 
,
- числа.
Частные решения этого уравнения ищем в виде y = ekx, где k – постоянное число.
Характеристическим для уравнения y(n) + p1y(n – 1) + p2y(n – 2) + … + pny = 0 является алгебраическое уравнение n-го порядка вида
kn + p1kn – 1 p2kn – 2 + … + pn – 1 k + pn = 0.
Это уравнение имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через k1 , k2 , … , kn .
Замечание: не все из корней уравнения kn + p1kn – 1 p2kn – 2 + … + pn – 1 k + pn = 0 обязаны быть различными. Так, в частности, уравнение (k – 3)2 = 0 имеет два равных корня: k1 = k2 = 3. В этом случае говорят, что корень один (k = 3) и имеет кратность mk = 2. Если кратность корня равна единице: mk = 1, его называют простым.
Случай 1: все корни уравнения kn + p1kn – 1 p2kn – 2 + … + pn – 1 k + pn = 0 действительны и просты (различны). Тогда функции y1 = ek1x, y2 = ek2x, … , yn = eknx, являются частными решениями уравнения y(n) + p1y(n – 1) + p2y(n – 2) + … + pny = 0 и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения y(n) + p1y(n – 1) + p2y(n – 2) + … + pny = 0 записывается в виде
y = c1ek1x + c2ek2x + … + cneknx.
12. Линейные однородные (ло) ду n-го порядка. Структура общего решения лнду
Уравнение вида b0 (x) y(n) + b1 (x) y(n – 1) + … + bn (x) y = g (x), где b0 (x) ≠ 0, b1 (x), … , bn (x), g (x) – заданные функции (от x), называются линейным ДУ n-го порядка.
Если свободный член g (x) 0, то это уравнение называется линейным однородным уравнением; если g (x) ≠ 0, то уравнение
b0 (x) y(n) + b1 (x) y(n – 1) + … + bn (x) y = g (x) называется неоднородным.
Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид y(n) + a1 (x) · y(n – 1) + a2 (x) · y(n – 2) + … + an (x) · y = 0.
Если функции y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), … , yn = yn (x) являются частными решениями этого уравнения, то его решением является функция y = c1y1 + c2y2 + … + cnyn .
Структура
общего решения ЛНДУ: общим решением y
уравнения y”
+ α1
(x)
y’
+ α2
(x)
y
= f
(x),
где α1
(x),
α2
(x),
f(x)
– заданные, непрерывные на (a;
b)
функции, является сумма его произвольного
частного решения y*
и общего решения 
= c1y1
+ c2y2
соответствующего однородного уравнения
y”
+ α1
(x)
y’
+ α2
(x)
y
= 0, т.е. y
= y*
+
.
13. Метод вариации постоянных для решения лнду
Рассмотрим ЛНДУ y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x). Его общим решением является функция y = y* + . Частное решение y* уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0, методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть = c1y1 (x) + c2y2 (x) – общее решение уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0. Заменим в общем решении постоянные c1 и c2 неизвестными функциями c1 (x) и c2 (x) и подберем их так, чтобы функция y* = c1 (x) · y1 (x) + c2 (x) · y2 (x) была решением уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x). Найдем производную: (y*)’ = c’1 (x) y1 (x) + c1 (x) y’1 (x) + c’2 (x) y2 (x) + c2 (x) y’2 (x).
Подберем функции c1 (x) и c2 (x) так, чтобы
c’1 (x) · y1 (x) + c’2 (x) · y2 (x) = 0.
Тогда (y*)’ = c1 (x) · y’1 (x) + c2 (x) · y’2 (x),
(y*)” = c’1 (x) · y’1 (x) + c1 (x) · y”1 (x) + c’2 (x) · y’2 (x) + c2 (x) · y”2 (x). Подставляя выражение для y*, (y*)’ и (y*)” в уравнение y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x), получим:
c’1 (x) · y’1 (x) + c1 (x) · y”1 (x) + c’2 (x) · y’2 (x) + c2 (x) · y”2 (x) + α1 (x) [c1 (x) y’1 (x) + c2 (x) y’2 (x)] + α2 (x) [c1 (x) y1 (x) + c2 (x) y2 (x)] = f (x). Поскольку y1 (x) и y2 (x) – решения уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0, то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому c’1 (x) · y’1 (x) + c’2 (x) · y’2 (x) = f (x).
Таким образом, функция y* = c1 (x) · y1 (x) + c2 (x) · y2 (x) будет частным решением y* уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x), если функции c1 (x) и c2 (x) удовлетворяют системе уравнений:
{c’1 (x) · y1 (x) + c’2 (x) · y2 (x) = 0, (1)
{c’1 (x) · y’1 (x) + c’2 (x) · y’2 (x) = f (x).
Определитель системы | y1 (x) y2 (x) | ≠ 0, т.к. это определитель
| y’1 (x) y’2 (x) |
Вронского для фундаментальной системы частных решений y1 (x) и y2 (x) уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0. Поэтому система (1) имеет единственное решение: c’1 (x) = φ1 (x) и c’2 (x) = φ2 (x), где φ1 (x) и φ2 (x) – некоторые функции от x. Интегрируя эти функции, находим c1 (x) и c2 (x), а затем по формуле y* = c1 (x) · y1 (x) + c2 (x) · y2 (x) составляем частное решение уравнения
y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x).