16. Структура общего решения линейных систем ду

Структура общего решения линейных однородных систем ДУ: линейная комбинация _j x_j n – линейно независимых решений X₁ , X₂ , … , X_n линейной однородной системы L [X] = 0 с непрерывными на отрезке a ≤ t ≤ b коэффициентами a_ij (t) является общим решением этой линейной однородной системы на отрезке a ≤ t ≤ b.

Структура общего решения линейных неоднородных систем ДУ: общее решение на отрезке a ≤ t ≤ b линейной неоднородной системы ДУ с непрерывными на этом отрезке правыми частями равно сумме общего решения соответствующей линейной однородной системы ДУ и частного решения неоднородной системы ДУ.

17. Линейные однородные и неоднородные системы ду с постоянными коэффициентами

Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами имеют вид:

В векторной форме: dY/dx = AY, где

Характеристическое уравнение:

или det (A – λE) = 0.

Общее решение этой системы имеет вид

если все корни характеристического уравнения простые, а решениями, соответствующими этим корням λ_k , будут

Линейные неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами имеют вид:

dY/dx = AY + F, где

Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы. Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.