4.5.3. Експоненціальний розподіл

Експоненціальний закон розподілу набув широкого використання в теорії надійності складних систем. Функція щільності експоненціального розподілу випадкової величини має вигляд

Для її моделювання скористаємося методом оберненої функції. Маємо

(4.6)

З виразу (4.6) знаходимо значення х_i:

Можна показати, що випадкові величини (1 – r_i) мають такий самий розподіл, що і величини r_i . Тоді, замінивши (1 – r_i), на r_i отримаємо

Випадкові величини з експоненціальним розподілом широко застосовуються в задачах моделювання та аналізу СМО, наприклад під час моделювання процесів виходу з ладу та ремонту обладнання, які виникають у складних системах, у разі визначення інтервалів часу між послідовними викликами абонентів у телефонній мережі або замовлень від незалежних клієнтів у будь-якій мережі обслуговування (швидка допомога, служби ремонту, виклик таксі і т. ін.)

Покажемо ще один підхід до моделювання випадкової величини, розподіленої за експоненціальним законом, з використанням методу оберненої функції, який прийнятий у мові GPSS [68]. Цей підхід передбачає заміну функції розподілу ймовірностей кусково-лінійною апроксимуючою функцією.

Розглянемо найпростіший випадок, коли  = 1. Апроксимуємо функцію експоненціального розподілу лінійними відрізками таким чином, щоб кожний відрізок можна було використовувати для моделювання за допомогою методу оберненої функції. У мові GPSS функція розподілу апроксимована 23 відрізками. Точки апроксимації x_і та значення функції F(х_і) у цих точках наведені в табл. 4.3.

Таблиця 4.3. Вузли та значення апроксимованої функції

xі	F(xі)	xі	F(xі)	xі	F(xі)	xі	F(xі)	xі	F(xі)	xі	F(xі)
0	0	0,4	0,509	0,75	1,38	2,3	0,9	3,2	0,96	5,3	0,995
0,1	0,1	0,5	0,69	0,8	1,6	2,52	0,92	3,5	0,97	6,2	0,998
0,2	0,222	0,6	0,915	0,84	1,83	2,81	0,94	3,9	0,98	7	0,999
0,3	0,355	0,7	1,2	0,88	2,12	2,99	0,95	4,6	0,99	8	0,9998

На рис 4.11 зображено лінійну апроксимацію експоненціальної функції розподілу F(x) з параметром  = 1, а на рис. 4.12 — функцію, обернену до неї. Перша функція відображає задані в табл. 4.2 значення, а друга використовується під час моделювання випадкових величин з експоненціальним розподілом.

Рис. 4.11. Апроксимація експоненціальної функції розподілу

Рис. 4.12. Обернена функція до апроксимованої

За необхідності моделювання випадкової величини X, розподіленої за експоненціальним законом з математичним сподіванням , діють таким чином:

• генерують значення випадкової величини r_i, яке використовують як аргумент оберненої функції (рис. 4.12) експоненціального розподілу з параметром  = 1, і знаходять значення функції F(r) (для підвищення точності оцінювання параметрів моделювання функцію розподілу F(r) інтерполюють лінійними відрізками);

• знаходять добуток отриманого значення F(r) на .

Наприклад, для моделювання часу затримки транзактів, що має експоненціальний закон розподілу з параметром , у мові GPSS використовують блок

ADVANCE 100, FN$XPDIS

У цьому операторі функція XPDIS (див. табл. 4.3) задає експоненціальний розподіл з інтенсивністю  = 1.