5. Определение наращенной суммы и современной стоимости постоянных рент постнумерандо.

p – количество платежей в течении года, m – начисленные проценты

• p = 1, m = 1: S = R * - наращенная величина ренты, A = R * - современная стоимость, s_n;I = - коэффициент наращения ренты, a_n;I = - коэффициент приведения.

• p – любое, m = 1: S = R * , s_n;I^(p) = - коэффициент наращения, i^(p)=p*((1+i)^1/p - 1), a_n;I ^(p) =

• p – любое, m – любое: s_n;I(m)^(p) = , a_n;I(m) ^(p) =

• m = p: s_n;I(m)^(m) = , a_n;I(m) ^(m) =

• m стремится к бесконечности, δ- сила роста: 1+i = δ, s_n;δ^(p) = , a_n;δ^(p) =

• p стремится к бесконечности, m – любое – непрерывное начисление ренты:

s_n;I(m)^(∞) = , a_n;I(m) ^(∞) =

• p стремится к бесконечности, m стремится к бесконечности: s_n;δ^(∞) = , a_n;δ^(∞) =

• конечные m и p (для p = ): s_n;I(m)^(p) = *q , a_n;I(m) ^(p) =

Для вечной ренты (n не ограничена) наращенная величина значения не имеет.

6. Другие виды постоянных рент

Непрерывная рента:

1.Р->∞ ,m – любое S_n;i(m)= (1+i⁽ᵐ⁾÷m)^ ᵐⁿ -1 ÷ Ln(1+i⁽ᵐ⁾ ÷m), a_n;i(m)= 1-(1+i⁽ᵐ⁾ ÷m)^{^(-mn)} ÷ m*Ln(1+iᵐ) ÷m)

2.P->∞ ,m->∞ S_n;δ= eᵟⁿ-1 / δ a_n;δ= 1-e^^(-ᵟᵑ) / δ

Редкая рента (платим в несколько лет 1 раз)P=1÷q – номинальное число

S_n;i^(m)= q* ((1+i⁽ᵐ⁾ ÷m)^ ᵐⁿ – 1) / ((1+i⁽ᵐ⁾ ÷m)^^mq -1)

a _n;i^(m)= q* (1-(1+i⁽ᵐ⁾ ÷m)^ ^-ᵐⁿ / ((1+i⁽ᵐ⁾ ÷m)^^mq -1)

Вечная рента (наращенная величина смысла не имеет)n->∞ , a_∞;i= 1/i, A= R/i.

Рента пренумеранда(рента с платежами в начале периода) Ṥ_n;i= (1+i)ⁿ -1 / d

ä_n;i= 1-(1+i)-ⁿ / d

Ренты с выплатами в середине периода Ån;i= (1+i)^1/2p * an;i, Ṡ n;i= (1+i)^1/2p * Sn;i

Отложенная рента tA, tS , tS=S, tA=A(1+i)^-t , tSn;i= Sn┐I , _tan;i= (1+i)^-t * an┐i

7. Определение параметров постоянных рент. Конверсии рент.

1) неизвестен размер платежа (R). Известны S или A. R=S / Sn;i

2) неизвестен n (срок ссуды). S=R * Sn;i , Sn;i= S/R ; а) по таблице б) n= Ln(1+i*S/R) / Ln(1+i)

3) неизвестно i (ставка). % ставка выступает как доход от финансовой операции с точки зрения кредитора. (1+i)ⁿ-1 / i= S/R , (1+i)ⁿ * S/R – 1=0

Конверсии рент – это замена одной совокупности рент другой совокупностью рент. Все конверсии основаны на едином принципе: принцип финансовой эквивалентности состоит в том, что при любых конверсиях должна оставаться постоянной современной величиной всего потока платежей.

Пример:

1.Выкуп ренты - замена ренты единовременным платежом. Чтобы выкупить ренту нужно выплатить её современную часть.

2.Рассрочка платежа – современная величина должна равняться той сумме, которую мы взяли в долг.

3.Консолидация ренты – замена нескольких рент одной.

Изменение параметров ренты:-Замена немедленной ренты на отложенную Допустим, есть R,n,i. Отложить ренту на t лет. R’ - ? (новый размер платежа) A=R*an;i

A= R’t *an;i= R’ * an;i(1+i)^-t , R= R’(1+i)^-t, R’=R(1+i)^t

-Замена годовой ренты на р - срочную R, n, i. Заменить на р – срочную, то есть R’, n, p, i.

A=R * an;i = R * 1-(1+i)^-ⁿ / i, A= R’ * 1-(1+i)^-ⁿ / i^^(p), R/i= R’/i^^(p) -> R’=R*i^^(p)/i = R * P((1+i)^ 1÷p – 1)/ i