15. Степенные средние, область применения в статистике. Порядок выбора формы средней величины.

Степенные средние величины получили свое название по виду функции, используемой для их расчета.

Если значения признаков в статистической совокупности не повторяются, степенную среднюю величину вычисляют в простой форме - это простая степенная средняя, при повторяющихся значениях – во взвешенной форме. Количество повторяющихся значений одного и того же признака ( Х i ) называется его весом (f i ).

Простая степенная средняя величина рассчитывается по формуле

где k – показатель степени средней величины.

При k = - 1 по данной формуле рассчитывают гармоническую среднюю величину (Х гарм.).

Если , на основе теории пределов по данной формуле определяют геометрическую среднюю величину ( Х геом. ).

Далее при k = 1 находят арифметическую среднюю, при k = 2 - квадратическую , при k = 3 - кубическую, при k = 4 - биквадратическую и т.д.

Если одно и то же значение признака встречается несколько раз, рассчитывают взвешенную среднюю величину:

где f i - это вес (частота значений признака xi ).Гармоническая средняя применяется если:1 ) осредняемый признак является мерой времени и выражен в секундах и минутах.2 ) осредняемая величина задана в виде функции неявного вида.

где n – количество единиц в совокупности.

Геометрическая средняя применяется при нахождении средних темпов или коэффициентов роста, т. к. она показывает во сколько раз в среднем одна величина в упорядоченной совокупности больше (или меньше) другой.

= ,

где n – число сомножителей (осредняемых значений признака).

=

Арифметическая средняя определяется по формулам:

Квадратическая средняя используется в тех случаях, когда осредняемая величина x задана в виде квадратической функции.

Кубическая средняя применяется, если осредняемая величина задана в виде квадратической функции.

Биквадратическая средняя рассчитывается как степенная средняя четвертого порядка и применяется при осреднении признака, являющегося функцией четвертого порядка.

16. Структурные средние. Виды, методика расчета, область применения в статистике.

Для характеристики структуры статистической совокупности применяются показатели, которые называют структурными средними. К ним относятся мода и медиана.

Мода (Мо) – чаще всего встречающийся вариант.Модой называется значение признака, которое соответствует максимальной точке теоретической кривой распределений.

Мода представляет наиболее часто встречающееся или типичное значение. Мода применяется в коммерческой практике для изучения покупательского спроса и регистрации цен.

В дискретном ряду мода – это варианта с наибольшей частотой. В интервальном вариационном ряду модой считают центральный вариант интервала, который имеет наибольшую частоту (частность). В пределах интервала надо найти то значение признака, которое является модой

где x0– нижняя граница модального интервала;h– величина модального интервала;fm– частота модального интервала;fm -1 – частота интервала, предшествующего модальному;

fm+ 1 – частота интервала, следующего за модальным.

Мода зависит от величины групп, от точного положения границ групп.

31б Мода – число, которое в действительности встречается чаще всего (является величиной определенной), в практике имеет самое широкое применение (наиболее часто встречающийся тип покупателя).Медиана (Me)– это величина, которая делит численность упорядоченного вариационного ряда на две равные части: одна часть имеет значения варьирующего признака меньшие, чем средний вариант, а другая – большие.Медиана – это элемент, который больше или равен и одновременно меньше или равен половине остальных элементов ряда распределения.

Свойство медианы заключается в том, что сумма абсолютных отклонений значений признака от медианы меньше, чем от любой другой величины.Применение медианы позволяет получить более точные результаты, чем при использовании других форм средних.Порядок нахождения медианы в интервальном вариационном ряду следующий: располагаем индивидуальные значения признака по ранжиру; определяем для данного ранжированного ряда накопленные частоты; по данным о накопленных частотах находим медианный интервал:Медиана делит численность ряда пополам, следовательно, она там, где накопленная частота составляет половину или больше половины всей суммы частот, а предыдущая (накопленная) частота меньше половины численности совокупности