2. Физический смысл и взаимосвязь основных величин, характеризующих акустические волны. Закон Гука и его место в акустике.

Акустические колебания - это механические колебания частиц упругой среды, а волны - распространение в этой среде механического возмущения. В жидкостях и газах акустические волны характеризуются одной из следующих величин:

а) акустическим давлением р (изменением давления);

б) смещением u частиц среды из положения равновесия;

в) скоростью колебательного движения частиц среды v;

г) потенциалом смещения или колебательной скорости .

Взаимосвязь перечисленных величин определяется зависимостями

(1.1)

(1.2)

(1.3)

где  - плотность среды; t - время.

Твердые тела отличаются от жидкостей тем, что при деформациях в них возникают не только давления, но и сдвиговые упругие напряжения. Если частота механических колебаний не превосходит десятков гигагерц, то твердое тело можно рассматривать как непрерывную среду, пренебрегая микроскопической структурой вещества. Под воздействием сил, приложенных к твердому телу, последнее деформируется. Это означает, что расстояние между точками тела в этом случае несколько отличается от расстояний между теми же точками в отсутствие сил. Таким образом, для описания деформированного состояния тела достаточно задать для каждой точки вектор смещения u.

а б

Рис. 1.1 – Схемы деформации бруса: растяжение (а) и сдвиг (б).

Для определения деформации рассмотрим брус, подвергнутый растяжению так, как показано на рис.1.1а. В этом случае вектор u имеет только одну координатную составляющую u_x, которая зависит от x. Таким образом, для описания степени деформации, возникающей при растяжении в направлении оси x, в каждой точке задается значение частной производной u_x/x. Поскольку возможны растяжения и в направлении осей y и z, в общем случае можно описать деформацию типа растяжение, задав следующие величины:

Кроме деформации растяжения возможна также деформация сдвига, при которой отдельные слои твердого тела скользят относительно друг друга. В данном случае (рис.1.1б) смещение каждой частицы тела в направлении оси x зависит от координаты y, а в направлении оси y от координаты x. При этом деформация сдвига определяется следующим образом

В общем случае, когда присутствуют все виды деформации, состояние тела определяется заданием в каждой точке девяти чисел

Они образуют компоненты тензора деформации. Поскольку этот тензор симметричен, то различных чисел здесь только шесть. В общем виде элемент тензора удобно записать в виде

(1.4)

где i, j - x, y, z.

Тензор деформации является безразмерной величиной. Численные значения S_ij для различных материалов изменяются в широких пределах. Например, для резины реально достижимы значения порядка единиц, а для более жестких материалов значение S_ij достигает 10^-4 и ограничивается остаточной деформацией или разрушением.

В области линейной деформации упругие тела после устранения внешних сил, вызвавших деформацию, возвращаются в первоначальное состояние. Такой переход происходит под действием некоторых внутренних сил, возникающих в деформированном теле. Эти силы, отнесенные к единице поверхности, называются внутренними напряжениями. Чтобы определить напряжения в произвольной точке, выделим в окрестности этой точки бесконечно малый куб (рис.1.2). Действие окружающего пространства на этот куб можно описать, задав на его гранях вектор поверхностной силы, т.е. силы, отнесенной к единице площади. Тогда сила, действующая на грань с внешней нормалью T_x, равна

где T_xx, T_yx, T_zx - координатные составляющие этой силы.

Рис. 1.2 – Компоненты тензора напряжений.

Данное представление учитывает тот факт, что нормальная и тангенциальные составляющие силы вызывают различные виды деформации. По аналогии получим

Силы на остальных гранях определяются из условия равновесия, поэтому для описания напряженного состояния вещества достаточно задать девять чисел, которые можно записать в форме матрицы

. (1.5)

Полученное выражение есть тензор второго ранга, который называется тензором напряжений и имеет размерность Н/м².

В связи с тем, что тело находится в равновесии, нормальные компоненты равны и выполняется условие

Такой тензор называют симметричным. В жидкостях и газах тангенциальные компоненты отсутствуют, а нормальные равны между собой. Давление считается положительным, когда оно сжимающее, и отрицательным, когда растягивающее (напряжение в этом случае положительное).

Согласно закону Гука для изотропного тела можно записать уравнения, связывающие компоненты тензоров T_ij и S_ij

(1.6)

где S=S_xx+S_yy+S_zz - изменение единицы объема;

 и  - упругие постоянные или компоненты Ламе.

Выражение (1.6) называется обобщенной формой закона Гука. Вместо постоянных  и  можно использовать модуль упругости E и модуль сдвига G или E и коэффициент Пуассона .

Время Т, в течение которого совершается один полный цикл колебания в УЗ волне, называют периодом колебаний.

Количество колебаний, происходящих за 1 секунду, называют частотой f колебаний в УЗ волне.

Максимальное значение, которое принимает переменный параметр за период (смещение U или скорость V), называют амплитудой.

Фазой УЗ волны называют параметр, показывающий, какая часть периода прошла с момента начала последнего цикла колебания. Если нам известна фаза УЗ колебания, это значит, что мы знаем, каковы смещение и скорость колеблющейся частицы, а также в каком направлении движется частица в данный момент времени.

Длиной УЗ волны X называется минимальное расстояние между двумя точками, колеблющимися в одной фазе. Длина волны связана с частотой и скоростью соотношением

. (1.11)

У линейных систем мощность на выходе пропорциональна мощности, поданной на вход, и система характеризуется отношением этих двух мощностей, независимо от их абсолютной меры.

В большинстве случаев гораздо практичнее пользоваться логарифмом этого отношения. Так, если в акустике рассматривают две интенсивности звука I и I₀ то разницу между ними в децибелах (дБ) даст величина

(1.12)

Первоначально децибел был введен как десятая часть другой единицы - "бела", которая потом вышла из употребления. Это название принято в честь американского изобретателя телефона Белла. По первоначальному замыслу название "децибел" должно применяться исключительно к мерам мощности. Однако это понятие можно перенести на меры, относящиеся к другим параметрам, таким, как интенсивность звука, звуковое давление и др.

Так, если рассматривается отношение давлений в звуковой волне, то

(1.13)

откуда

(1.14)

Рис.1.3 Номограмма перевода относительных величин в децибелы

В том случае, когда берут натуральный логарифм отношения давлений или амплитуд, получают единицы, называемые неперами(Нп)

(1.15)

Между непером и децибелом существуют соотношения:

Нп = 8,686 дБ или 1 дБ = 0,115 Нп (1.16)

На рис. 1.3 приведена номограмма, позволяющая перевести отношение амплитуд в децибелы и наоборот. На этом рисунке 1-й верхней шкале соответствует 1-я нижняя шкала отношений амплитуд, 2-й верхней шкале децибел - 2-я нижняя шкала отношений амплитуд.