Теорема 3.4
Если f(x) непрерывна на [a, b] и f(а) f(b) < 0, то c [a, b]: f(c) = 0.
Доказательство:
Пусть для определённости f(а) < 0, f(b) > 0. Тогда, в силу устойчивости знака непрерывной функции, найдётся правая полуокрестность точки а, в которой f(x) < 0.
(рисунок)
Рассмотрим множество Х таких точек [a, b], что f(x) < 0 на [a, ).
X ={ : [a, b], f(x) < 0 на [a, )}.
Это множество непустое, ограниченное сверху и, следовательно, имеет точную верхнюю грань:
с sup X. Отметим, что x < c: f(x) < 0. (1)
Докажем, что f(с) = 0.
Допустим, что это не так.
Предположим, что f(с) > 0. Тогда f(x) > 0 в некоторой окрестности точки c, и, следовательно, (рисунок)
x < c: f(x) > 0, что противоречит (1).
Предположим, что f(с) < 0. Тогда f(x) < 0 в некоторой окрестности точки с.
(рисунок)
Следовательно, > c: f(x) < 0 на [a, ), а это противоречит тому, что c = sup X.
Значит, наше предположение неверно, и f(c) = 0.
Теорема доказана.
Следствие (прохождение непрерывной функции через любое промежуточное значение)
Пусть функция f(x) непрерывна на [a, b], f(а) = A, f(b) = B. Тогда С [A, B] c [a, b]: f(c) = C.
Доказательство.
Рассмотрим функцию g(x) = f(x) - C. Пусть , для определённости, A < C < B. Тогда
g(a) = f(a) - С = A - C < 0, g(b) = f(b) - C = B - C > 0. Кроме того, g(x) непрерывна на сегменте
[a, b]. Следовательно, по теореме 3.4 c [a, b]: g(c) = 0, то есть f(c) - C = 0 f(c) = C, что и требовалось доказать.
Непрерывность сложной функции.
Непрерывность сложной функции.
Пусть аргумент t функции y = f(t) является функцией аргумента x: t = (x). В этом случае говорят, что переменная у является сложной функцией от аргумента х или у является суперпозицией функций f и .
y = f( (x)).
Пример:
y = sin( ) - сложная функция.
y = sin t, где t = .
Теорема 3.3
Если t = (x) непрерывна в точке а (а) = b, и функция f(t) непрерывна в точке b, то сложная функция f( (x)) непрерывна в точке а.
Доказательство:
По определению непрерывности нужно доказать, что > 0 > 0: | f( (x)) - f( (a)) | < при
| x - a | < .
Зададим произвольное > 0.
Так как f(t) непрерывна в точке b, то > 0: | f(t) - f(b) | < при | t - b | < . Отсюда следует, что
| f( (x)) - f( (a)) | < при | (x) - (a) | < . (1)
В свою очередь, так как (x) непрерывна в точке a,
то для указанного > 0: | (x) - (a) | < при | x - a | < .(2)
Из (1) и (2) следует, что | f( (x)) - f( (a)) | < , если | x - a | < , что и требовалось доказать.
Теорема доказана.
Теорема о существовании, строгой монотонности и непрерывности обратной функции.
П
усть
функция у
= f(x)
определена на множестве Х,
и пусть Y
- множество её значений. Пусть каждое
своё значение функция принимает только
в одной точке. В таком случае говорят,
что функция у
= f(x)
осуществляет взаимно однозначное
отображение множества Х
на множество Y.
Поставим в соответствие каждому у
Y
то число х
Х,
для которого f(x)
= у.
Тем самым на множестве Y
будет определена функция. Она называется
обратной по отношению к функции у
= f(x)
и обозначается х
=
(у).
Отметим, что обратной для функции х
=
(у)
является функция y
= f(x),
поэтому функции y
= f(x)
и х
=
(x)
называются взаимно обратными.
Примеры.
1) y = , X = [0, +),
x
=
,
Y
= [0, +).
(рисунок)
2) y = , X = (-, ).
Эта функция обратной не имеет.
(рисунок)