Производная функции, заданной параметрически.
Инвариантность формы первого дифференциала.
Пусть y = f(x), где х - независимая переменная. Тогда оп определению dy = f'(x)dx (1) Где dx = x. dy называется также первым дифференциалом функции. Покажем, что формула (1) сохраняется и в том случае, когда х является не независимой переменной, а дифференцируемой функцией x = (x), t - независимая переменная. y = f((t)) F(t), dy = F'(t)dt. Воспользуемся формулой дифференцирования сложной функции:
F'(t) = f'((t))'(t).
dy = f'((t))'(t)dt.
Но, так как x = (t), то dx = '(t)dt, dy = f'(x)dx, то есть формула 1 остается в силе и в этом случае. Это свойство называется инвариантностью формы первого дифференциала. Отметим, что не меняется только форма (вид) первого дифференциала, а содержание меняется. Именно, если х - независимая переменная, то dx = x, если же x = (t), то dy = '(t)dt x.
Из формулы (1)
получаем, что f'(x)
=
,
(2) то есть производная функции f(x)
равна отношению дифференциалов функции
и аргумента также и в том случае, когда
аргумент является не независимой
переменной, а дифференцируемой функцией
какой-то независимой переменной.
В качестве следствия из формулы (2) выведем формулу производной функции, заданной параметрически.
Пусть x и y заданы как функции независимой переменной t, которую мы назовём параметром.
x = (t), y = (t) (3)
пусть параметр t
также изменяется на некотором промежутке
и пусть t
= -1(x).
Таким образом, уравнения (3) задают
функцию f(x).
Такое задание функции называется
параметрическим. Выведем формулу f'(x).
По формуле (2): f'(x)=
,
но dy='(t)dt,
dx='(t)dt
f'(x)
=
.
f'(x)
=
(4)
Уравнение (3) и формула (4) допускают простую физическую интерпретацию. Пусть t -время, (x, y)- координаты точки. Тогда уравнения (3) задают движение точки на плоскости, при это график y = (x) является траекторией точки.
(рисунок)
=
(t)
(t)
вектор
скорости. Докажем, что этот вектор
направлен по касательной к траектории.
В самом деле, tg
=
.
=
f'(x)
tg
= f'(x).
А это и означает, что вектор скорости
направлен по касательной.
Пример:
x
= cos
t
(cos
t
есть (t)),
y
= sin
t
(sin
t
есть (t)),
0 < t
< ..
Функция x
= cos
t
имеет обратную: t
= arccos
x,
и эти уравнения задают параметричскую
функцию y
= f(x).
По формуле (4): f'(x)
=
=
(0
< t
< ).
f'(x) =
=
.В данном случае f(x) можно найти в явном виде:
y =
sin(arccos x) =
(
есть
f(x))
f'(x)
=
(-2x)
=
.
Формула Лейбница.
Производные высших порядков.
Пусть функция y
= f(x)
имеет производную f'(x)
на некотором промежутке, тогда производная
f'(x)
сама является функцией, заданной на
этом промежутке. Пусть f'(x)
имеет производную в некоторой точке х
из этого промежутка, тогда эта производная
называется второй производной (производной
более высокого порядка) функции y
= f(x)
в точке х. Обозначение: (f'(x))'
= f''(x),
y''(x),
(x).
Производные более высоких порядков
вводятся по индукции: третья производная
- производная от второй,
n
2 y(n)(x)
= [y(n-1)(x)]'.
Физический смысл производной второго
порядка х -время. y
= f(t)
- путь пройденный за время x.
f'(x)
= v(x)
– скорость f''(x)
= v'(x)
= a(x)
- ускорение. Геометрический смысл второй
производной:
(рисунок)
(рисунок)
(рисунок)
1) y = x. y' = x. y'' = ( - 1)x-2.…
y(n) = ( - 1) … ( - n + 1)x-n.
Отметим, что если - m -натуральное число, то (ym)(m) = m(m - 1) … 1 = m!. (ym)(n) = 0 n < m.
2) y =ax. y' = xln a, y'' =ax(ln a)2, y(n) = ax(ln a)n. В частности, (ex)(n) = ex.
3) y = six x, y' = cos x = sin(x + ), y'' = cos(x + ) = sin(x +2 )…
y(n) = (sin x)(n) = sin(x +n )
4) (cos x)(n) = cos(x +n ) - докажите сами.
Две формулы, для производных n - го порядка.
1)[u(x) v(x)](n) = [(u + v)']' = [u' + v']' = (u')' + (v')' = u(2) + v(2).
(uv)(n) = u(n)v +
u(n-1)v'
+
u(n-2)v''
+ … +
u(n-k)v(k)
+ uv(n)
=
=
u(n-k)v(k),
(формула
Лейбница)
(1),
где
=
,
0! = 1, v(0)
= v,
совпадает с формулой разложения (u
+ v)(n)
=
u(n-k)v(k)
- бином
Ньютона, лишь вместо степеней стоят
производные соответствующих порядков.
Как и бином Ньютона, формула Лейбница
доказывается по индукции.
Докажем формулу
Лейбница по методу индукции. При n
= 1 эта формула принимает вид
,
что совпадает с правилом дифференцирования
произведения. Пусть для некоторого n
формула (1) верна. Продифференцируем ее
и объединим слагаемые, стоящие в правой
части, следующим образом
(2)
(При этом мы
воспользовались тем, что 1 =
).
Для любого k,
не превосходящего n,
справедливо
.
Пользуясь этой формулой, перепишем (2) в виде
(3)
Тем самым доказана справедливость формулы (1) для номера (n +1). Вывод формулы Лейбница завершен.
Пример: (x2
e3x)(10)
= (e3x)(10)x2
+
(e3x)(9)2x
+
(e3x)(8)2
= e3x3102x2
+ 10e3x392x
+ 45e3x382
= e3x39(3x2 + 20x + 30).