4Вопрос: Понятие обратной функции.

Определение. Функция   называется обратимой, если для любых двух различных чисел   и  , принадлежащих  , числа   и  также различны.

Теорема. Строго монотонная функция обратима.

Функция является обратимой в том и только в том случае, если любая прямая, перпендикулярная оси ординат, имеет с ее графиком не более одной общей точки.

Определение. Пусть функция   обратима,   — ее область определения,   — множество ее значений. Для каждого числа  обозначим через   такое число   из множества  , что   (такое число существует и притом только одно). Мы получили новую функцию с областью определения   и множеством значений  . Эта функция называется обратной функции  .

5Вопрос: Понятие сложной функции.

Понятие о сложной функции Пусть даны две функции  z = f(y)  и  у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций  f  и  g) называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу  h(x) = f(g(x))  (т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется значение в точке у). Чтобы можно было вычислить сложную функцию  h = f(g(x)), надо, чтобы число  g(x), т. е. значение функции  g, попадало в область определения функции  f .

Срогое определение понятия сложной функции звучит так:

Пусть функция    определена на множестве   и   – множество значений этой функции. Пусть, множество   является областью определения функции  . Поставим  в соответствие каждому   из   число  . Тем самым на множестве   будет задана функция  . Ее называют композицией функций или сложной функцией.

В этом определении, если пользоваться нашей терминологией,    – внешняя функция,   – промежуточный аргумент.

6Вопрос: Понятие предела функции.

Определение (нахождение предела функции на бесконечности).

Число А называется пределом функции f(x) при  , если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции сходится к А. Обозначается  .

Замечание.

Предел функции f(x) при   бесконечен, если для любой бесконечно большой последовательности аргументов функции (бесконечно большой положительной или отрицательной), последовательность значений этой функции является бесконечно большой положительной или бесконечно большой отрицательной. Обозначается 

7Вопрос: Основные правила вычисления пределов функций.

Правило 1.

 В числителе и знаменателе вынести x в максимальной степени, если это возможно. Заметим, что  , а   , где c - любое число.

Правило 2.

 Числитель и знаменатель разделить одновременно на  , если это возможно. Необходимо иметь в виду, что  , а   , где c - число, отличное от нуля.

Правило 3.

При вычислении пределов от иррациональных выражений, не попадающих в предыдущие правила, следует избавиться от корней, входящих в неопределенность. Возможны следующие способы:

3.1. замена переменной   , позволяющая извлечь корни, входящие в неопределенность;

3.2. дополнение до формулы, позволяющей возвести корень в соответствующую ему степень; здесь используются формулы:   ;  .

Например,    , т.е. умножили и разделили на сопряженное выражение.

Правило 4.

При наличии неопределенности в пределе от выражения, содержащего тригонометрические функции, следует выделить в этом выражении первый замечательный предел:

 .    (1)

Можно использовать следствия этого предела:

 ;     (2)

 ;     (3)

 ;     (4)

 .     (5)

Правило 5.

Вычисление предела сложнопоказательной функции.  .

Если рассматриваемый предел содержит неопределенность   , то он сводится ко второму замечательному пределу:

     (1)

или    .     (2)

Правило 6.

Предел сложной функции: .

В частности,  , если .

Необходимо помнить свойства логарифмов :  ,  ,  ,  . Есть пределы, которыми можно пользоваться как "табличными":

,     (1)

,     (2)

,     (3)

.     (4)