43Вопрос: Обратная матрица, ее свойства.

Обра́тная ма́трица — такая матрица A⁻¹, при умножении на которую, исходная матрица A даёт в результате единичную матрицу E:

• , где   обозначает определитель.

•  для любых двух обратимых матриц   и  .

•  где   обозначает транспонированную матрицу.

•  для любого коэффициента   .

• Если необходимо решить систему линейных уравнений  , (b — ненулевой вектор) где   — искомый вектор, и если   существует, то  . В противном случае либо размерность пространства решений больше нуля, либо их нет вовсе.

44Вопрос: Решение систем линейных уравнений. Матричный метод.

Система m линейных алгебраических уравнений с n неизвестными (или, линейная система, также употребляется аббревиатура СЛА́У) в линейной алгебре — это система уравнений вида

Здесь   — количество уравнений, а   — количество неизвестных. x₁, x₂, …, x_n — неизвестные, которые надо определить. a₁₁, a₁₂, …, a_mn — коэффициенты системы — и b₁, b₂, … b_m — свободные члены — предполагаются известными^[1]. Индексы коэффициентов (a_ij) системы обозначают номера уравнения (i) и неизвестного (j), при котором стоит этот коэффициент, соответственно

Ма́тричный метод решения (метод решения через обратную матрицу) систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем состоит в следующем.

Пусть дана система линейных уравнений с   неизвестными (над произвольным полем):

Тогда её можно переписать в матричной форме:

, где   — основная матрица системы,   и   — столбцы свободных членов и решений системы соответственно:

Умножим это матричное уравнение слева на   — матрицу, обратную к матрице  : 

Так как  , получаем  . Правая часть этого уравнения даст столбец решений исходной системы. Условием применимости данного метода (как и вообще существования решения неоднородной системы линейных уравнений с числом уравнений, равным числу неизвестных) является невырожденность матрицы A. Необходимым и достаточным условием этого является неравенство нулю определителя матрицы A:

.

45Вопрос: Решение систем линейных уравнений. Метод последовательного исключения неизвестных (метод Гаусса)

. Ме́тод Га́усса^[1] — классический метод решения системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Это метод последовательного исключения переменных, когда с помощью элементарных преобразований система уравнений приводится к равносильной системе ступенчатого (или треугольного) вида, из которой последовательно, начиная с последних (по номеру) переменных, находятся все остальные переменные^[2].

46Вопрос: Решение систем линейных уравнений. Метод Крамера.

Метод Крамера (правило Крамера) — способ решения квадратных систем линейных алгебраических уравнений с ненулевым определителем основной матрицы (причём для таких уравнений решение существует и единственно).

Для системы   линейных уравнений с   неизвестными (над произвольным полем)

с определителем матрицы системы  , отличным от нуля, решение записывается в виде

(i-ый столбец матрицы системы заменяется столбцом свободных членов). В другой форме правило Крамера формулируется так: для любых коэффициентов c₁, c₂, …, c_n справедливо равенство: