2 Лабораторная работа

ИССЛЕДОВАНИЕ РЕКУРСИВНЫХ ЦЕПЕЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Цель работы: исследовать зависимость частотных и временных характеристик рекурсивных цепей второго порядка от коэффициентов передаточной функции.

2.1 Краткая теоретическая справка

Рекурсивная цепь второго порядка общего вида описывается передаточной функцией

(6)

Нули и полюсы H(z) определяются из решений уравнений

Из этих уравнений находятся:

а) нули

(7)

Если дискриминант неотрицательный, то имеем вещественные нули, в про­тивном случае, H(z) обладает двумя комплексно-сопряженными нулями

(8)

где

б) полюсы

(9)

Если дискриминант неотрицательный, то имеем вещественные полюсы, в противном случае, H(z) обладает двумя комплексно-сопряженными полюсами

(10)

Тогда параметры и с учетом формулы (9) должны определяться как

(11)

Последние соотношения позволяют записать формулы для коэффициентов знаменателя H(z)

(12)

Из формулы 12 следует, что при комплексных полюсах a₂ > 0.

Импульсная характеристика цепи второго порядка при комплексно-сопряженных полюсах имеет вид

(13)

Как следует из выражения (13) слагаемое, у которого степень меньше нуля, равно нулю, поскольку рассматриваются только физически возможные цепи (у таких цепей реакция не может опережать воздействие).

Важным свойством цепи является ее устойчивость. Для устойчивости цифровой цепи второго порядка необходимо, чтобы корни уравнения лежали в круге единичного радиуса z-плоскости (не выходили из этого круга).

Совокупность ограничительных неравенств, обеспечивающих устойчивость цифровой цепи второго порядка, имеет вид

(14)

Эти неравенства определяют область допустимых значений коэффициентов.

Прямая структурная схема цепи второго порядка представлена на рисунке 2

X(n) b₀ Y(n)

b₁ - a₁

b₂ - a₂

Рисунок 2

Цепи второго порядка в зависимости от соотношения коэффициентов могут обладать различной избирательностью:

а) низкочастотной (НЧ);

б) высокочастотной (ВЧ);

в) полосовой (П);

г) режекторной (Р).

Для определения избирательности цепи необходимо уметь строить АЧХ по характерным точкам, к которым обычно относят значения АЧХ на следующих частотах: .

Последние две частоты соответствуют фазам нуля и полюса , при этом максимум АЧХ находится приблизительно на частоте .

Для оценки вида АЧХ удобно пользоваться формулами экспресс-анализа для вычисления АЧХ и ФЧХ на трех частотах:

(15)

Для оценки вида АЧХ цепи второго порядка необходимо произвести вычисления при т. е. в нуле и в полюсе.

2.2 Выполнение лабораторной работы

Выполнение лабораторной работы складывается из:

• контроля подготовленности к работе;

- исследований частотных и временных характеристик рекурсивных цепей второго порядка;

• итогового коллоквиума.

2.2.1 Контроль подготовленности к работе:

- открыть папку Lab 2, запустить файл Lw_2 и пройти этапы допуска к работе по аналогии с допуском, описанным для первой работы. По разрешению преподавателя можно осуществить автоматический допуск к выполнению лабораторной работы, запустив файл с именем Lw 2. Появится меню со следующими разделами:

Амплитудно-частотная характеристика

Фазочастотная характеристика

Импульсная характеристика

Переходная характеристика

Карта нулей и полюсов

Ввод новых коэффициентов

Убрать меню

Конец работы

2.2.2 Исследовать влияние коэффициентов передаточной функции на избирательность цифровой цепи при частоте дискретизации = № бр, кГц :

- провести 6 экспериментов, согласно значениям коэффициентов, взятых из таблицы 5 при

Например, для бригады №7 получаем

Таблица 5

№ эксперимента
1		0,81	1	0	0
2		0,81	1	1	0
3		0,81	1	1	0
4		0,81	1	0	1
5	0,5	0,64	1	1,2	0,81
6	1,2	0,81	1	0,5	0,64

2.2.3 Исследовать влияние коэффициентов передаточной функции на крутизну АЧХ:

- провести 4 эксперимента, согласно значениям коэффициентов из таблицы 6 при

- указать в таблице 6 значения угла полюса , рад и частоты , Гц , учитывая приведенные соотношения , и равенство

Таблица 6

№
1		0,81	0,5	0,25	0
2		0,64	0,5	0,25	0
3	2	0,64	0,5	- 0,1	0
4	2	0,81	1	0,5	0,64

- сделать вывод о влиянии угла полюса на свойства АЧХ.

В процессе работы перед каждым исследованием записать соответствующую варианту структуру фильтра, его передаточную функцию, получить нормированную АЧХ , импульсную характеристику, изобразить карту нулей и полюсов.

2.3 Контрольные вопросы и задания

2.3.1 По известной передаточной функции получить импульсную характеристику.

2.3.2 По импульсной характеристике получить передаточную функцию.

2.3.3 Изобразить карту нулей и полюсов, если известны:

а) передаточная функция;

б) импульсная характеристика.

2.3.4 По карте нулей и полюсов получить передаточную функцию и построить структурную схему цепи.

2.3.5 Как влияют нули передаточной функции на устойчивость цепи?

2.3.6 Какое влияние оказывают коэффициенты а₁ и а₂ на АЧХ?

2.3.7 Какое влияние оказывают полюса и нули на АЧХ?

2.3.8 Как получить АЧХ двух каскадно соединенных звеньев?

2.3.9 Как получить АЧХ двух параллельно соединенных звеньев?