4 Лабораторная работа

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНЫХ НЕРЕКУРСИВНЫХ ЦЕПЕЙ

Цель работы: исследовать зависимость частотных и временных характеристик нерекурсивных цепей от коэффициентов передаточной функции.

4.1 Краткая теоретическая справка

Нерекурсивные цепи обладают конечной импульсной характеристикой и поэтому их обычно называют КИХ-цепями (КИХ-фильтрами). КИХ-цепь порядка N-1 (длины N) описывается передаточной функцией

(16)

Этой передаточной функции соответствует импульсная характеристика

h(n) = b_n

Передаточные функции КИХ-цепей имеют единственный (N-1)-кратный полюс в точке z=0 и (N-1) нулей.

КИХ-фильтр обладает линейной фазочастотной характеристикой (ФЧХ), если его импульсная характеристика h(n) (то есть коэффициенты b_n передаточной функции) либо симметрична,

h(n) = h(N-1-n); ( b_n = b_N-1-n ) (17.1)

либо антисимметрична

h(n) = - h(N-1-n); ( b_n = b _N-1-n ) (17.2)

Отсюда следуют четыре возможных типа КИХ-фильтров с линейной ФЧХ в зависимости от симметричности или антисимметричности импульсной характеристики и четности или нечетности N:

1) КИХ-фильтр типа 1: импульсная характеристика симметрична, N-нечетное.

Амплитудно-частотная характеристика (АЧХ) такого фильтра имеет следующий вид

A( ) =  b₀ + b₁ +  b_N-1 +  b₁ + b₀ 

2

АЧХ на частотах и = ωΤ = π может принимать любое неотрицательное значение, что определяется только коэффициентами b_n. Следовательно, КИХ-фильтр типа 1 может быть низкочастотным, высокочастотным, полосовым или режекторным;

2) КИХ-фильтр типа 2: импульсная характеристика симметрична, N - четное. Как и в предыдущем случае, рассмотрим значения A( ) при и при = π. Тогда получим

A(0) =  b₀ + b₁ +  b₁ + b₀ 

A(π) =  b₀ - b₁ +  b₁ - b₀ = 0

Это означает, что АЧХ рассматриваемых фильтров на частоте может иметь любые неотрицательные значения, а на частоте = π всегда обращается в нуль. Следовательно, фильтры типа 2 - это фильтры низких частот (ФНЧ) или полосовые, но принципиально не могут быть фильтрами высоких частот или режекторными.

Фазовая характеристика вышеприведенных КИХ-фильтров определяется по формуле

(18)

где - для КИХ-фильтра типа 1 и - для КИХ-фильтра типа 2;

где частоты, на которых , а комплексная частотная характеристика меняет знак;

3) КИХ-фильтр типа 3: импульсная характеристика антисимметрична, N - нечетное. В этом случае при и при = π имеем

A(0) =  b₀ + b₁ +  - b₁ - b₀ = 0

A(π) =  b₀ - b₁ +  b₁ - b₀ = 0

Из вышеприведенных соотношений видно, что такие фильтры могут быть только полосовыми.

ФНЧ определяется по формуле

(19)

4) КИХ-фильтр типа 4; импульсная характеристика антисимметрична, N - четное. Для значений АЧХ получаем

A(0) =  b₀ + b₁ +  - b₁ - b₀ = 0

A(π) =  b₀ - b₁ +  - b₁ + b₀ 

У фильтров этого типа при A( ) = 0, а при = π АЧХ может иметь любые неотрицательные значения, поэтому фильтры типа 4 принципиально не могут быть фильтрами НЧ и режекторными.

Выражение для ФНЧ имеет вид

(20)

На рисунке 3 приведена прямая структурная схема КИХ-цепей общего вида

X(n)

Y(n)

Рисунок 3

КИХ-цепь, у которой все коэффициенты одинаковы (b_n = b),на-зывается однородным фильтром. При b₀ = 1/N передаточная функция имеет вид

(21)

Из формулы (18) получается амплитудно-частотная характеристика однородного фильтра

A( ) = (22)