45Степенной ряд.Теорема Абеля Степенный ряд (с.Р.) есть ф.Р., который имеет следующий вид

Е сли Х0=0, то ряд по степеням Х можно записать так:

Т еорема. Н. Абеля

Об области сходимости степенного ряда можно судить, исходя из

следующей теоремы.

Теорема (Абель). Если степенной ряд сходится при

х = хо =f. О; то он абсолютно сходится при всех значениях х, удовлетворяющих

неравенству Ixl < Ixo 1· Следствие.

Если ряд расходится при х = xl, то он расходится

и при всех х, удовлетворяющих неравенству Ixl > Ixll·

46 Радиус и интервал сходимости степянного ряда .Нахождение промежутка сходимости

Из теоремы Абеля следует, что если хо =j:. О есть точка сходимости

степенного ряда, то интервал (-Ixo 1; Ixo 1) весь состоит из точек

сходимости данного ряда; при всех значениях х вне этого интервала

ряд расходится. Интервал (-Ixol; Ixol) и называют интервалом сходимости

степенного ряда. Положив Ixo 1 = Н, интервал сходимости можно

записать в виде (- Н; Н). Число R называют радиусом сходимости

степенного ряда, т. е. R > О -- это такое число, что при всех х, для

которых Ixl < R, ряд абсолютно сходится, а при Ixl > R ряд

расходится.

Н айти область сходимости ряда

Воспользуемся признаком Даламбера:

Ряд сходится, если

х -2>3 или х-2<-3

x>5 или x<-1

47.Свойства степенных рядов

1.Сумма S(x) степенного ряда является непрерывной функцией в интервале сходимости (-R;R).

2. Степенные ряды

имеющие радиусы сходимости соответственно R₁ и R_{2 ,}можно почленно складывать, вычитать и умножать. Радиус сходимости произведения, суммы и разности рядов не меньше, чем меньшее из чисел R₁ и R₂.

3. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно почленно дифференцировать; при этом для ряда

при -R<x<R выполняется равенство

4.Степенной ряд можно почленно интегрировать на каждом отрезке, расположенный внутри интервала сходимости; при этом для ряда S(x) при -R<a<x<R выполняется равенство

48.Разложение функции в степенной ряд. Ряды Тейлора и Маклорена

Надо уметь функцию f(x) представлять в виде суммы степенной ряд.

Если функция f(x) имеет производные любых порядков(т.е.бесконечно дифференцируема) в окрестности точки x₀ и остаточный член R_n(x) стремится к нулю при , то из формулы Тейлора получается разложение функции f(x) по степеням (x-x₀), называемое рядом Тейлора:

Если в ряде Тейлора положить x₀=0, то получим разложение функции по степеням х в так называемый ряд Маклорена:

Ряд тейлора можно формально построить для любой бесконечно дифференцируемой функции (это необходимое условие) в окрестности точки x₀, но отсюда ещё не следует, что он будет сходиться к данной функции f(x); он может оказаться и расходящимся или сходиться, но не в этой функции. Например,

49. Доказательство необходимости и достаточности разложения функции в ряд Тейлора (Теорема об условии разложимости функции в ряд Тейлора).

Теорема Тейлора: Пусть функция f(x) имеет в точке х = а и некоторой ее окрестности производные порядка до (n+1) включительно.{ Т.е. и все предыдущие до порядка n функции и их производные непрерывны и дифференцируемы в этой окрестности}.

2) Пусть х- любое значение из этой окрестности, но х а.

Тогда между точками х и а найдется такая точка , что справедлива формула:

это выражение называется формулой Тейлора, а выражение:

называется остаточным членом в форме Лагранжа.

Доказательство. Представим функцию f(x) в виде некоторого многочлена P_n(x), значение которого в точке х = а равно значению функции f(x), а значения его производных равно значениям соответствующих производных функции в точке х = а.

Многочлен P_n(x) будет близок к функции f(x). Чем больше значение n, тем ближе значения многочлена к значениям функции, тем точнее он повторяет функцию.

Представим этот многочлен с неопределенными пока коэффициентами:

Для нахождения неопределенных коэффициентов вычисляем производные многочлена в точке х = а и составляем систему уравнений:

(3)

Решение этой системы при х = а не вызывает затруднений, получаем:

f (a)=C₀ ; f^´ (a)=С₁; f´´ (a)= 2×1С_2; f ´´´(a)=3×2×1С₃;

………………………………………………………..

f ⁽ⁿ⁾(a)= n(n-1)(n-2)…2×1C_n

Подставляя полученные значения Ci в формулу (2), получаем:

Как было замечено выше, многочлен не точно совпадает с функцией f(x), т.е. отличается от нее на некоторую величину. Обозначим эту величину R_n+1(x). Тогда:

f(x) = P_n(x) + R_n+1(x) Теорема доказана!

50. Разложение в ряд Маклорена функции f(x) = е^Х

Пусть f(x) = е^Х

Имеем:

а) 1'(х) = е^Х , f"(x) = е^Х , … , f⁽ⁿ⁾⁽x) = е ^Х , … ;

б) f(0) = 1, f '(0) = 1, ... , f⁽ⁿ⁾(0) = 1, ... ;

в)

R=lim_n-∞ | a_n/a_n+1 | = lim_n-∞ | (n+1)!/ n! | = lim_n-∞ (n+1) = ∞ т. е. ряд сходится в интервале (-∞; ∞);

г) для всех х ∈ (-R; R) имеем |f⁽ⁿ⁾(x) |= е^x < e^R = М, т. е.

все производные в этом интервале ограничены одним и тем же числом

М = e^R . Следовательно, по теореме 64.2 lim R_n(х) = 0. Таким образом

51.Разлож в ряд Маклорена функции f(x)=sinx

f(x)=sinx f(0)=0

f`(x)=sin(x+ ) f`(0)=1

f``(x)=sin(x+ ) f``(0)=0

(x)=sin(x+ ) =

Т.к. производная n-го порядка

= ≤1, то по теореме можно сказать, что для формально составленного ряда суммой явл.

Sinx=

Выражается в радианах

53. Разложение в ряд Макларена функции f(x) = ln(1+x); f(x) = ln(1–x);

f(x) = ln

f(x) = ln(1+x)

Докажем формулу. Пусть f(x) = ln(1+x).

Рассмотрим равенство

справедливое для всех х ε (–1; 1). Используя свойство 4 степенных

рядов, проинтегрируем данный ряд на отрезке [0;х], х ε (–1; 1):

или

(*)

Можно показать, что это равенство справедливо и для х = 1.

f(x) = ln(1-x)

В формуле (*) заменим x на (–x). Тогда получим

(**)

Можно показать, что это равенство несправедливо для х =1 и справедливо для x= –1.

f(x) = ln

Упростим:

Из формул (*) и (**) получим:

Можно показать, что это равенство несправедливо для х =1 и x= –1.

54. Разложение в ряд Макларена функции f(x) = arctgx.

Докажем формулу. Пусть f(x) = arctgx.

Положив в формуле

что α = –1 и заменив х на х², получим

Тогда

или

Можно показать, что равенство справедливо и при х=±1, т. е. при всех

х ε [-1; 1].