5 .Двойной интеграл и его вычисление в декартовой системе координат.

Пусть дана функция z= f(x,y)- непрерывна в замкнутой обл.D , тогда существует. Если плоскую обл.D разбить на элементарные части ΔS_i ; x,y=const dS=dXdY- элемент площади.Получим формулу для вычисления двойного интеграла в декартовых системах координат.

В ычислим объем цилиндр. тела с основанием D

и верхней крышкой z= f(x,y)- способом вычисл. по извест.

поперечным сечениям. Пересечем все тело плоскостью

(x=const) .Площадь обозначим через:

Объем тела:

Формула для вычисления интеграла в декартовой системе координат:

Замечания:1)Если обл. интегрирования правильная относит. Oy-правильная , то ф-ла имеет вид:

2)Пределы внеш. Интеграла при вычислении двойн. интеграла всегда постоянны, а пределы внутреннего интеграла некоторые функции.Пределы внутр. Интеграла постоянны, если обл. ПРЯМОУГОЛЬНИК.

3)Если обл. D не является ни одной из осей, то ее разбивают так чтобы формула для вычисления двойного интеграла была применима и было применимо свойство адитивности(сложения).

6.Двойной интеграл в полярной системе координат.

Для вычисления сложных двойных интегралов используют полярную систему координат. Для этого совершают преобразования переменных, тогда изменяется обл. интегрирования, но и вид подъинтегрального выражения.

U,V- новые, независимые переменные.

Предполагаем, что ф-лы 𝛙 и φ непрерывны и имеют част. Производные в обл. D. Тогда Ј(якобиан)≠0.Если в обл. D взять точку Р_i(x_i,y_i), а в обл.D’(U_i,V_i), то между ними можно установить взаимо однозначное соответствие.

dXdY= dUdV

Переход из декартовой системы координат в полярную. x=rcos𝜑 y=rsin𝜑

Правила расстановки пределов.

1 )Полюс лежит не в обл. интегрирования

2)Полюс расположен внутри обл.D .

3) Полюс лежит на границе.

7. Криволинейных интеграл по длине дуги и его вычисление Определение криволинейного интеграла I рода

Пусть λ –кривая в пространстве

Если существует конечный предел интегральных сумм при , то его называют криволинейным интегралом I рода (по длине дуги) от функции по кривой .

Криволинейный интеграл I рода от функции по кривой λ обозначают

Если существует , то функция называется интегрируемой по кривой λ.

Вычисление криволинейного интеграла I рода

П усть кривая L задана параметрически в пространстве: L: x(t) y(t) z(t)

(где ).

Тогда для любой функции непрерывной на L имеет место равенство :

.

Замечание 1. КРИ-1 обладает всеми свойствами определенного интеграла по фигуре, но в отличие от определенного интеграла,КРИ-1 не зависит от направления кривой интегрирования:

Замечание 2.вычисление КРИ-1 сведением к определенному интегралу внешне похоже на замену переменной,но при вычислении КРИ-1 нижний предел интегрирования должен быть всегда меньше верхнего.