3. Дифференциальное уравнение упругой линии

Перемещение центра тяжести сечения в направлении перпендикулярном оси балки называется прогибом и обозначается υ_max

Изогнутая ось балки – это стрела прогиба, называется упругой линией

Углом поворота сечения (θ) называется угол на который поворачивается сечение относительно первоначального положения

Система координат принимается следующая: начало координат находится в крайнем левом сечении, ось иксов направлена вдоль оси стержня, ось у перпендикулярна ей.

Прогиб балки положителен, если перемещение происходит вверх вдоль оси стержня.

основное дифференциальное уравнение упругой линии при малых перемещениях

3. Метод непосредственного интегрирования. Граничные условия

Используя обе части уравнения, получим формулу для определения углов поворот сечения

Интегрируя еще раз получим формулу для определения прогибов

Где С и D –произвольные постоянные, определяемые из граничных условий:

υ_A = 0 υ_A = υ_B = 0

θ_A= 0 θ_A ≠ 0

θ_B ≠ 0

граничные условия: граничные условия:

при х = 0 υ_A = 0 при х = 0 υ_A = 0

при х = 0 θ_A= 0 при х = l υ_B = 0

3. Метод начальных параметров

Недостатком метода непосредственного интегрирования является необходимость определения большого количества произвольных постоянных.

Если балка имеет n-участков, то необходимо составить и решить систему 2n алгебраических уравнений.

В методе начальных параметров независимо от количества участков, следует определить 2 произвольные постоянные.

Е – модуль упругости

I_z – момент инерции относительно Оz

υ – прогиб в рассматриваемой точке

начальные параметры:

υ₀ – начальный прогиб

θ_о – начальный угол поворота

х – расстояние от начала балки до рассматриваемого сечения

Постоянные интегрирования имеют здесь простой смысл: это начальные (при x = 0) значения искомой функции и ее производные. Поэтому, метод интегрирования дифференциальных уравнений, основанный на формуле, и широко применяемый в строительной механике, называется методом начальных параметров.

Согласно метода начальных параметров, балка разбивается на участки. Подставив (12.38) в (12.39), получим функцию прогибов на I участке балки:

3. Метод конечных разностей

4. Прогибы простейших балок

С жесткой заделкой:

Слева – заделка; справа – сила, направленная вниз; прогиб – плавно переходит с 0 в заделке к силе.

Слева – заделка; на всем протяжении – равномерно-распределенная нагрузка; прогиб как с силой – плавный переход вниз.

3. Рациональные сечения балок

Рациональным называется сечение, имеющее наибольшую прочность и экономичность.

При изгибе наибольшие нормальные напряжения возникают в местах наиболее удаленных от оси z.

Чем ближе к Оz, тем нормальные напряжения меньше, а на самой оси они равны нулю

Так и с материалом: его наибольшее количество должно быть сосредоточено намного меньше.

Таким образом было получено двутавровое поперечное сечение, в котором служат для восприятия нормальных напряжений, а стенка служит для соединения полок и восприятия касательных напряжений, возникающих под действием поперечных сил.

3. Балка равного сопротивления

БРС называется балка поперечного сечения, у которой максимальные напряжения во всех сечениях одинаковы и равны допускаемым

Форма БРС определяется из формулы:

3. Сдвиг (срез). Основные понятия

Сдвиг (срез) – вид напряженно-деформированного состояния, при котором в поперечном сечении возникает только один внутренний силовой фактор.

На сдвиг(срез) рассчитывают сварные болтовые соединения и т.д.

При сдвиге в сечении возникают касательные напряжения

Q – поперечная сила; А – площадь поперечного сечения

3. Напряжения и деформации при чистом сдвиге

При чистом сдвиге в поперечном сечении по граням выделенного элемента действуют только касательные напряжения.

Определим величину и направление главных напряжений:

Таким образом, чистый сдвиг может быть представлен как одновременное растяжение и сжатие по двум взаимно-перпендикулярным направлениям.

3. Закон Гука при сдвиге. Условие прочности

Относительным сдвигом называется угол, на который изменяется первоначально прямой угол (угол сдвига).

Закон Гукка при сдвиге (срезе)

G – модуль сдвига

Между модулем упругости коэффициентом Пуассона и модулем сдвига существует зависимость:

Проверка прочности при срезе выполняется по формуле:

3. Косой изгиб. Определение напряжений

Косой изгиб имеет место при действии на брус нагрузок, расположенных ни в одной из главных плоскостей.

Т.к. косой изгиб можно привести к изгибу в двух плоскостях, то общая формула для определения напряжений будет получена следующим образом:

Под действием силы F1 происходит изгиб в вертикальной плоскости

Под действие силы F2 происходит изгиб в горизонтальной плоскости

Общая формула:

3. Проверка прочности при косом изгибе

Делается в зависимости от зоны:

растянутая зона

сжатая зона

Используется, если сечение имеет 2 оси симметрии

3. Определение положения нейтральной линии при косом изгибе

Положение нейтральной линии определяется из условия равенства нулю напряжений на ней

F₂=F*sinα

F₁=F*cosα

Т.к. решение М=0 не имеет смысла, то

- уравнение нейтральной линии

3. Опасные точки сечения

Опасными являются точки, наиболее удаленные от нейтральной линии

Для их определения следует через все крайние точки сечения провести линии параллельные нейтральной

Наиболее удаленные от НЛ будут проходить через опасные точки сечения

3. Определение напряжений при внецентренном растяжении (сжатии)

Внецентренное растяжение (сжатие) имеет место при действии нагрузки на стержень вдоль его оси с некоторым эксцентриситетом, т.е. его смещением.

В любом случае внецентренное растяжение (сжатие) сводится к центральному растяжению (сжатию) и двум плоским изгибам.

Z_F, Y_F- координаты приложения силы F

Под силой А спроецированной на ось х возникает центральное растяжение.

Напряжение при этом:

От действия возникают напряжения

От действия возникают напряжения

Общее напряжение: