1) Стратегия pо принадлежит множеству s : pо s;

2) Показатель эффективности g(pо) стратегии pо совпадает с ценой игры gs в стратегиях множества s:

G(P^О)=G_S (2.5)

Решением игры в стратегиях множества S назовемдвухэлементное множество {S⁰,G_S} , вкотором элементS⁰ — множество всехоптимальных стратегий в множестве S , а G_S— цена игры в стратегиях множества S (см. (2.4)).

Частным решением игры в стратегияхмножества S назовем двухэлементное множество{P⁰,G_S},элементами которого являются какая-нибудьоптимальная стратегия P⁰ в множестве S ицена игры G_S в стратегиях множества S.

решение игры. Если множество S конечно, в частности если S есть множество    чистых стратегий, то в нем всегда существует стратегия P⁰, удовлетворяющая равенству (2.5), т.е. стратегия, на которой функция эффективности G(P) достигает своего супремума G_Sна множестве S(см. (2.4)). Таким образом, в конечном множестве S всегда существует оптимальная стратегия.

Если же множество S бесконечно, тосуществование в нем оптимальной стратегиитребует доказательства.

35. Выбор коэффициентов

Коэффициенты  определенного в предыдущем пункте обобщенного критерия Гурвица предназначены для приближенного количественного выражения представления лица, принимающего решение, — игрока A о различной степени опасности, благоприятности или нейтральности обстановки, в которой он должен выбрать оптимальную стратегию.

Показателем пессимизма игрока Aпри выборе им оптимальной стратегии назовемчисло

 (3.1)

где [n/2] — целая часть числа n/2.

Показателем оптимизма игроканазовем число

 (3.2)

Очевидно, что 

Коэффициенты  , удовлетворяющие условиям (1.1), выбираются игроком A субъективно из следующих соображений. Если он оценивает ситуацию, в которой предстоит принять решение, как опасную, то его поведение при выборе стратегии должно быть осторожным, осмотрительным, не претендующим на большие выигрыши. В этой ситуации игрок A проявляет больше пессимизма, чем оптимизма. Поэтому коэффициенты   естественно выбирать таким образом, чтобы показатель пессимизма   был больше показателя   оптимизма . Если же игрок A считает ситуацию благоприятной, то целесообразный выбор коэффициентов   должен быть таким, чтобы показатель оптимизма   был больше показателя пессимизма  . В случае, если игрок A не может определенно отдать предпочтение ни опасности, ни благоприятности ситуации, т.е. считает ее нейтральной, то естественно выбрать коэффициенты   так, чтобы показатели пессимизма и оптимизма были бы равными, т.е.  =   = 0,5 .

Таким образом, показатели пессимизма и оптимизма можно трактовать как количественные меры соответственно пессимизма и оптимизма игрока A при выборе им оптимальной стратегии, а общее значение   =   = 0,5 указывает как бы на его нейтральность.

В [7] (см. также [6, 10]) был предложен некоторый формализованный прием выбора коэффициентов  , состоящий в следующем.

Как уже отмечалось в пункте 2, если P есть чистая стратегия, то строка (2.1) представляет собой строку матрицы A выигрышей игрока A при этой чистой стратегии, а строка (2.2) есть неубывающая перестановка этой строки матрицы A. Таким образом, выигрыши каждой строки матрицы Aпереставлены в неубывающем порядке. Обозначим элементы полученной матрицы через b_ij, а саму матрицу — через B:

Пусть

,   (3.3)

— сумма выигрышей, стоящих в j-мстолбце матрицы B;

,   (3.4)

— арифметическое среднее выигрышей b_ij, стоящих в j-м столбце матрицы B;

 (3.5)

— сумма всех выигрышей матрицы B,или, что то же, сумма всех выигрышей матрицы A.

Поскольку каждая строка матрицы Bявляется неубывающей последовательностью, то(см. (3.3))

и следовательно, см. (3.4))

 (3.6)

В случае, когда игрок A оценивает ситуацию, в которой он выбирает стратегию, как опасную, то коэффициенты   должны быть выбраны, как отмечалось выше, так, чтобы показатель пессимизма   был больше показателя оптимизма  . Это может быть достигнуто, например, выбором невозрастающей последовательности коэффициентов   — в частности, по принципу невозрастания средних выигрышей, т.е. обратно пропорциональных средним выигрышам (3.4) (см. (3.6)):

(см. [7], а также [6, 10]). В этом случае можнодоказать (см. [7], а также [6, 10]), что

,   (3.7)

где b_n-j+1 и bопределяются соответственно по формулам (3.3) и(3.5).

Если же игрок A при выборе стратегии преисполнен оптимизма  был больше показателя оптимизма , то показатель оптимизма   должен быть больше показателя пессимизма  , что может быть реализовано выбором неубывающей последовательности коэффициентов  — например, по принципу неубывания средних выигрышей (см. [7], а также [6, 10]), т. е. прямо пропорционально средним выигрышам (3.4):

В этом случае (см. [7], а также [6, 10])справедлива формула

  , 

где b_j и b определяютсясоответственно по формулам (3.3) и (3.5).