47.Модель дуополии Бертрана.

Парадокс Бертрана

В данной моделе так же, как и в моделе дуополии по Курно, 2 фирмы производят однородный продукт, но здесь фирмы одновременно и независимо объявляют цену, по которой они готовы продавать свою продукцию. Тогда спрос, с которым сталкивается каждая фирма, определяется следующим образом:

Следовательно, фирма, назначившая меньшую цену, «получает» весь спрос, а если цены одинаковы, то потребители покупают продукцию фирм равновероятно.

Предположим, что цены (p₁^*,p₂^*) образуют равновесие по Нэшу. Во-первых, p_k^* >=с, k=1,2, так как назначение цены ниже предельных затрат приведет к отрицательной прибыли

С другой стороны, p_k^* не может быть выше c. Рассмотрим это утверждение более подробно. Предположим для определѐнности, что p₁^*>с, тогда если p₂^*>=p₁^*, то фирма B, сталкивающаяся в этом варианте в лучшем случае с половинным спросом, может «перехватить» весь спрос, назначив цену p₂⁰=p₁^*-E, E>0. Если же p₁^*>p₂^*>с, то фирма A, аналогично, может назначить цену p₁⁰ =p₂^*-Е , «перехватывая» весь спрос.

Поэтому в дуополии по Бертрану, равновесие наступает в единственном случае, когда p₁^*=p₂^*=с и фирмы получают нулевую прибыль. В этом и заключается парадокс Бертрана

Случай с дифференцированной продукцией

Фирмы 1 и 2 выбирают цены p₁ и p₂ одновременно и независимо. Спрос, с которым сталкивается фирма i

где b >0 отражает степень заменяемости i-го продукта j-м. Пространство стратегий это S_i = [0,бесконечн)

Прибыли фирм определяются равенствами

Пара (p₁^*,p₂^*) образует равенство по Нэшу, то для ее поиска фирмы решают след.задачи:

Итак, оптимальные стратегии фирм А и В заключаются в выборе цен

В соответстивии с определением равновесия Нэша, отклоняясь от данных уровней цен в единоличном порядке, фирмы могут лишь ухудшить свое положение, а именно,снизить свою прибыль.

48.Модель «Проблема общего».

Данная теоретико-игровая проблема, связана с использованием некоторого общего ресурса. Можно продемонстрировать следующую ее интерпретацию.

Пусть в игре участвуют K фермеров. Летом их козы пасутся на зелѐном поле. Обозначим через a_k – число коз у k-го фермера. Тогда численностьвсего стада будет составлять величину A=a₁+a₂+…+a_k. Затраты на покупку и содержание козы равны величине c. Будем предполагать, что данная величина не зависит от количества коз в наличии у фермера. Стоимость одной козы определим как функцию v(A).

Предполагая, что козе необходим определѐнный уровень пропитания для выживания, будем считать, что существует некоторое максимальное число коз, которое может прокормиться, A_max. Тогда функция стоимости козы может быть описана следующим образом:

Весной одновременно и независимо фермеры выбирают, сколько

заводить коз, т.е. определяют величину a_k. Выигрыш π_k k-го фермера определим с помощью функции

Таким образом, если существует равновесная по Нэшу игровая ситуация (a₁^*,a₂^*,…a_K^*), то величина a_k^*, должна максимизировать функцию π_k в условиях существования оптимальной ситуации для других игроков (a₁^*,a₂^*,…a_k-1^*,a_k+1^*,…a_K^*)