1. Табличный

2. аналитический (формулы)

3. Графический

4. Словестный

20. Элементарные функции.

21. Операции логарифмирования и потенцирования.

Логарифмированием называется математическая операция, с помощью которой, зная число, определяют_логарифм_этого_числа. Потенцированием называется математическая операция, с помощью которой, зная логарифм числа, определяют само число.

Логарифмированием называется действие, состоящее в нахождении показателя степени по данной степени и основанию степени.

Прологарифмировать выражение означает выразить его логарифм через логарифмы компонентов. Задача обратная логарифмированию, называется потенцированием. Пропотенцировать логарифмическое выражение означает по данной зависимости между логарифмами чисел найти зависимость между числами.

Элементарные функции — функции, которые можно получить с помощью конечного числа арифметических действий и композиций из следующих основных элементарных функций:

• алгебраические:

  • степенная;

  • рациональная.

  • трансцендентные:

  • показательная и логарифмическая;

  • тригонометрические и обратные тригонометрические.

Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функциинепрерывны на своей области определения.

Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.

К элементарным функциям относятся основные элементарные функции и те, которые можно образовать из них с помощью конечного числа операций (сложения, вычитания, умножения и деления) и суперпозиций. Выделим классы функций, которые получены из элементарных:

1. Целая рациональная функция (или многочлен): y=a₀xⁿ+a₁x^n-1+...+a_n, где n - целое неотрицательное число (степень многочлена), a₀, a₁, ..., a_n - постоянные числа (коэффициенты).

2. Дробно-рациональная функция, которая является отношением двух целых рациональных функций.

3. Целые рациональные и дробно-рациональные образуют класс рациональных функций.

Иррациональная функция - это та, которая строится с помощью суперпозиции рациональной функции и степенных функций с рациональными показателями

20. Схема исследования функции.

1.Область определения

2. Исследование функции на четность, нечетность и периодичность

Если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство  , то  – четная функция; если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения выполнено равенство  , то  – нечетная функция; в противном случае,  – общего вида. График четной функции симметричен относительно оси ординат, график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

3.Нахождение точек пересечения графика функции с осями координат

Точки пересечения с осью ОХ:  , где   – решение уравнения  .

Точки пересечения с осью ОY:  .

4.Нахождение промежутков знакопостоянства функции

Промежутки знакопостоянства функции – промежутки из области определения функции, где функция принимает положительные или отрицательные значения, т.е.   или  .

5. Нахождение производной функции, области определения производной, критических точек

Критические точки функции – внутренние точки области определения функции, в которых производная не существует или равна нулю.

6. Нахождение промежутков возрастания, убывания, точек экстремума и экстремумов

Критические точки функции разбивают область определения функции на промежутки. Для нахождения промежутков возрастания, убывания и точек экстремума нужно определить знак производной на каждом из полученных промежутков. Если производная функции положительна на некотором промежутке I, то функция возрастает на этом промежутке; если производная функции отрицательна на некотором промежутке I, то функция убывает на этом промежутке. Если при переходе через критическую точку производная меняет знак, то данная точка является точкой экстремума.

7. Нахождение промежутков выпуклости функции и точек перегиба

Для нахождения промежутков выпуклости используется вторая производная функции. Точки, в которых вторая производная равна нулю или не существует, разбивают область определения функции на промежутки. Если вторая производная на полученном промежутке положительна, то график функции имеет выпуклость вниз, если – отрицательна, то график функции имеет выпуклость вверх. Если при переходе через точку, в которой вторая производная равна нулю или не существует, вторая производная меняет знак, то данная точка является точкой перегиба.

8. Исследование поведения функции на бесконечности и в окрестности точек разрыва

Для исследования поведения функции в окрестности точки разрыва   необходимо вычислить односторонние пределы:   и   . Если хотя бы один из данных пределов равен бесконечности, то говорят, что прямая   – вертикальная асимптота.

При исследовании поведения функции на бесконечности необходимо проверить, не имеет ли график функции наклонных асимптот при   и  . Для этого нужно вычислить следующие пределы:  и   . Если оба предела существуют, то   – уравнение наклонной асимптоты при  . Частный случай наклонной асимптоты при   – горизонтальная асимптота. Аналогично ищется наклонная асимптота при  . 

9.Построение графика (при необходимости нужно найти значения функции в дополнительных точка.

 

20. Показательная и логарифмическая функции, их свойства и графики.

Логарифмическая функция, ее свойства и график

Определение

Функция  , ставящая в соответствие каждому положительному числу   его логарифм по данному положительному и отличному от единицы основанию  , называется логарифмической функцией.

Уравнение (формулу) логарифмической функции   можно записать в таком виде:  . Сравнивая последнее уравнение, выражающее логарифмическую функцию, с уравнением показательной функции   видим, что это взаимно обратные функции. Отсюда следует, что свойства логарифмической функции выводятся из свойств показательной функции и что график логарифмической функции с основанием   симметричен графику показательной функции с тем же основанием относительно биссектрис первого и третьего квадрантов.

Свойство 1

Областью определения логарифмической функции служит множество всех положительных чисел, а область изменения этой функции — множество всех действительных чисел, т. е.   и  . Это хорошо видно на графиках.

Свойство 2

При   любая логарифмическая функция принимает значение, равное нулю, т. е.  . Все графики  проходят через точку  . Остальные свойства различаются для случаев   и   .

Свойство 3

Если  , то функция   возрастающая (например,   и  ), т. е. большему положительному числу  соответствует больший логарифм (меньшему числу — меньший логарифм) и обратно: большему логарифму соответствует большее число (меньшему логарифму — меньшее число). При этом если  , то  , т. е. неограниченно убывает. Если   , то функция   убывающая (например,   и  ), т. е. большему положительному числу соответствует меньший логарифм и обратно: меньшему логарифму соответствует большее число. Если  , то  .

Следствие

Если логарифмы двух положительных чисел по одному и тому же положительному основанию, отличному от единицы, равны, то равны и сами эти числа, т. е. если   и  ,  , то  .

Свойство 4

Если   , то при   функция  , а при   функция  . Если  , то, наоборот, при  функция  , а при   функция  . Каждое из этих свойств можно вывести из соответствующего свойства показательной функции, если учесть, что функция   изменяется так, как изменялся аргумент   функции   , а аргумент   функции   изменяется так, как изменялась показательная функция  .

Показательная функция.

При a > 0, a  =  1, определена функция y = a ^x , отличная от постоянной. Эта функция называется показательной функциейс основанием a. 

Основные свойства показательной функции y = a ^x при a > 1:

• Область определения функции - вся числовая прямая.

• Область значений функции - промежуток (0;+ ).

• Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x₁< x_{2 ,} то a^x₁ < a^x₂ .

• При x = 0 значение функции равно 1.

• Если x > 0 , то a ^x > 1 и если x < 0, то 0 < a < 1.

Графики показательных функций с основанием 0 < a < 1 и a > 1 изображены на рисунке.

Основные свойства показательной функции y = a ^x при 0 < a < 1:

• Область определения функции - вся числовая прямая.

• Область значений функции - промежуток (0;+ ).

• Функция строго монотонно возрастает на всей числовой прямой, то есть, если x₁< x_{2 ,} то a^x₁ > a^x₂ .

• При x = 0 значение функции равно 1.

• Если x > 0 , то 0 < a < 1 и если x < 0, то a ^x > 1.

К общим свойствам показательной функции как при 0 < a < 1, так и при a > 1 относятся:

• a^x₁ a^x₂ = a^x₁^+ x₂, для всех x₁ и x_2.

• a−x=(ax)−1=1ax  для любого x.

• nax=axn  для любого x и любого n N n =1 .

• (ab)^x = a^x b^x для любых a, b > 0; a,b =1 .

• (ba)x=bxax  для любых a, b > 0; a,b =1 .

• a^x₁ = a^x₂, то x₁ = x_2.