20. Теорема о трех перпендикулярах. Признаки перпендикулярности прямых и плоскостей.

1)О_ТРЕХ_ПЕРПЕНДИКУЛЯРАХ. Формулировка: Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной.

И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.

Доказательство: Пусть АВ - перпендикуляр плоскости , АС - наклонная и с - прямая в плоскости , проходящая через основание С.

Проведем прямую СA1, параллельную прямой АВ. Она перпендикулярна плоскости . Проведем через прямые АВ и СA1 плоскость . Прямая с перпендикулярна прямой СA1. Если она перпендикулярна прямой СВ, то она перпендикулярна плоскости , а значит, и прямой АС.

АНАЛОГИЧНО. Если прямая с перпендикулярна наклонной АС то она, будучи перпендикулярна и прямой СA1 перпендикулярна плоскости , а значит, и проекции наклонной СВ. Теорема доказана.

2)ПРИЗНАК_ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОСТИ_ПРЯМОЙ_И_ПЛОСКОСТИ. Формулировка: Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.

Доказательство:

Пусть а прямая, перпендикулярная прямым b и c в плоскости . Тогда прямая а проходит через точку А пересечения прямых b и c. Докажем, что прямая а перпендикулярна плоскости .

Проведем произвольную прямую х через точку А в плоскости и покажем, что она перпендикулярна прямой а. Проведем в плоскости произвольную прямую, не проходящую через точку А и пересекающую прямые b, c и х. Пусть точками пересечения будут В, С и Х.

Отложим на прямой а от точки А в разные стороны равные отрезки АА1 и АА2. Треугольник А1СА2 равнобедренный, так как отрезок АС является высотой по условию теоремы и медианой по построению (АА1=АА2). по той же причине треугольник А1ВА2 тоже равнобедренный. Следовательно, треугольники А1ВС и А2ВС равны по трем сторонам.

Из равенства треугольников А1ВС и А2ВС следует равенство углов А1ВХ и А2ВХ и, следовательно равенство треугольников А1ВХ и А2ВХ по двум сторонам и углу между ними. Из равенства сторон А1Х и А2Х этих треугольников заключаем, что треугольник А1ХА2 равнобедренный. Поэтому его медиана ХА является также высотой. А это и значит, что прямая х перпендикулярна а. По определению прямая а перпендикулярна плоскости . Теорема доказана.

20. Свойства обратных функций.

22. Обра́тная фу́нкция — функция, обращающая зависимость, выражаемую данной функцией.

Функции     и     называются взаимно обратными, если выполняются следующие условия:

Обозначение: 

Область определения функции  f  (множество  X)  обозначается через     или   ,  а множество значений (область значений) этой функции – через     или   соответственно. 

Признак обратимости  функции:  Функция     обратима (имеет обратную) на множестве  M,  если для любых     выполняется условие

Следствие.  Всякая строго возрастающая (строго убывающая) функция обратима.

Свойства взаимно обратных функций:

1.  

2.  

3.  

4.     возрастает (убывает) на             возрастает (убывает) на  

5.    –  нечетная функция         –  нечетная функция

6.  Графики функций     и     симметричны относительно прямой  

   Замечание.  Для того чтобы задать формулой функцию   ,  обратную функции   ,  достаточно уравнение     решить относительно   ,  а затем поменять     и    местами.

20. Исследование функций на четность и нечетность.

Функция y = f(x) называется четной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство  f(-x) = f(x).

четные функции: y = /x/, y = x², y = cos x

График четной функции симметричен относительно оси OY.

Функция y = f(x) называется нечетной, если для любого x из области определения функции выполняется равенство  f(-x) = - f(x).

нечетные функции: y = 1/x, y = x³, y = sin x, y = tg x, y = ctg x, y = arcsin x, y = arctg

График нечетной функции симметричен относительно начала координат O.

Из определения четной и нечетной функции следует, что область определения X как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством:  если x принадлежит X, то и -x принадлежит X, т.е. X - симметричное относительно начала координат O множество.

20. исследование функций на экстремумы.

Слово «экстремум» значит крайний. Точкой экстремума называется такая точка, в которой функция принимает крайние значения: наибольшее или наименьшее.

Критической точкой функции называется такая точка ее области определения, в которой производная функции обращается в нуль или не существует. Критические точки функции, в которых она меняет возрастание на убывание или убывание на возрастание, называются точками экстремума.

Если в точке экстремума функция меняет убывание на возрастание, то в этой точке достигается наименьшее значение хотя бы на небольшом участке ее области определения. Говорят, что такая точка является точкой локального минимума.

Если в точке экстремума функция меняет возрастание на убывание, то в этой точке достигается наибольшее значение хотя бы на небольшом участке ее области определения. Говорят, что такая точка является точкой локального максимума.

Задача исследования функции на экстремумы состоит из следующих шагов:

1. находят производную данной функции;

2. находят критические точки;

3. устанавливают, какие из критических точек являются точками экстремума, одновременно уточняя характер локального экстремума: максимум или минимум;

4. устанавливают, чему равны сами эти локальные максимумы и минимумы.

 Обратные тригонометрические функции Обратные тригонометрические функции это математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций:

• арксинус (обозначение: arcsin)

• арккосинус (обозначение: arccos)

• арктангенс (обозначение: arctg)

• арккотангенс (обозначение: arcctg)

• арксеканс (обозначение: arcsec)

• арккосеканс (обозначение: arccosec)

Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки «арк-» (от лат. arc — дуга).  Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. 

Функция y = arcsin x

Дана функция y = sin x.  На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcsin x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все значения области значений —  −2 ;2  . Так как для функции y = sin x на интервале  −2 ;2   каждому значению аргумента соответствует единственное значение функции, то на этом отрезке существует обратная функция y = arcsin x, график которой симметричен графику функции y = sin x на отрезке  −2 ;2   относительно прямой y = x.

Функция y = arccos x

Дана функция y = cos x.  На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arccos x функцией не является. Поэтому мы рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения — [0; ]. На этом отрезке y = cos x строго монотонно убывает и принимает все свои значения только один раз, а значит, на отрезке [0; ] существует обратная функция y = arccosx, график которой симметричен графику y = cos x на отрезке [0; ] относительно прямойy = x.

Функция y = arctg x

Дана функция y = tg x.  На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arctgx функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз —

  −2 ;2  . На этом отрезке y = tg x строго монотонно возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале  −2 ;2   существует обратная функция y = arctg x, график которой симметричен графику y = tgx на отрезке

  −2 ;2   относительно прямой y = x.

Функция y = arcctg x

Дана функция y = ctg x.  На всей своей области определения она является кусочно-монотонной, и, значит, обратное соответствие y = arcctg x функцией не является. Поэтому рассмотрим отрезок, на котором она строго возрастает и принимает все свои значения только один раз — (0; ). На этом отрезке y = ctg x строго возрастает и принимает все свои значения только один раз, следовательно, на интервале (0; ) существует обратная функция y = arcctg x, график которой симметричен графику y = ctg x на отрезке (0; ) относительно прямой y = x.