23.Экстремум ф-ии, необходимое и достаточное условие экстремума.

Опр.: точка х₀- называется точкой максимума ф-ии, если в некоторой окрестности точки х₀ выполняется неравенство f(x)≤f(x₀)ш

Опр.: точка х1 называется точкой минимума ф-ии, если в некоторой окрестности точки х, выполняется неравенство f(x)≥f(x1)

Экстремумы фун-ии часто назыв. Локальным подчеркивая этим тот факт что понятие экстремума связано с малой окрестностью точке х на одном промежутке фун-ия может иметь несколько экстремумов причем минимум в одной точке может быть больший максимумов другой. Наличие максимума или минимума в отдельной точке промежутка х не означает что в этой точке наибольшее или наименьшее значение т.е. имеет глобальный максимум или минимум.

Необходимые условия экстремума:

Для того чтобы функция y=f(x) имела экстремум в точке х₀ необходимо, чтобы её производная в этой точке = 0 или не существовала. Точки, в которых это условие выполняется ,называются критическими или стационарными. Если в точке имеется экстремум, то это критическая точка(обратное утверждение не верно)

1 достаточное условие. Если при переходе через точку х₀ производная дифференциальной фун-ии у=f(х) меняет знак с + на – то х₀ точка максимума .Если с – на + то минимума.2 достаточное условие. Если 1 производная дважды дифференциальной фун-ии = 0 в некоторой точке х₀ а 2 производная в этой точке положительна то х₀ точка минимума, если 2 производная отрицательна,то х₀ точка максимума.

24.Выпуклость, вогнутость, точки перегиба.

Функция y=f(x) называется выпуклой вниз(вогнутой) на промежутке Х, если для любых двух значений х1, х2 из промежутка выполняется :f

Функция y=f(x) называется выпуклой вверх на промежутке Х, если для любых х1,х2 этого промежутка выполняется :

f

Опр.: Точкой перегиба графика непрерывной ф-ии, называется точка, разделяющая интервалы, в которых ф-ия выпукла вниз и вверх.

Точка перегиба – точка экстремума первой производной.

Теорема: ( необходимое условие перегиба) – вторая производная дважды дифференцируемой ф-ии в точке перегиба х₀=0.

Теорема: (Достаточные условия перегиба)Если вторая производная дважды дифференцируемой ф-ии, при переходе через точку х₀, дважды меняет свой знак, то х₀- точка перегиба графика этой ф-ии.

Если критическая точка дифференц. Ф-ии не является точкой экстремума, то это точка перегиба.

25.Асимптоты ф-ии.

асимптотой графика ф-ии y=f(x) называется прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки (x;f(x)) стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

Виды асимптот:

1)вертикальная

2)горизонтальная

3)наклонная.

Пусть функция y=f(x) определена в некоторой окресности т. Х₀ и хотя бы один из пределов с лева и с права = ∞, тогда прямая х₀=х₁ является вертикальной.

Пусть функция y=f(x) определена и существует конечный предел функции lim f(x)=b (x ∞), тогда прямая у=b, есть горизонтальная прямая.

Пусть функция y=f(x) определена в х большое и существует конечный предел lim f(x)/х=k (x→∞), lim (f(x)-k(x))=b, тогда прямая у=kx+b является наклонной.

26.Ф-ия нескольких переменных, область её определения.

Пусть каждой точке М их множества точек евклидова пространства E^m по какому-либо закону ставится в соответствие некоторое число u из числового множества U.Тогда будем говорить, что на множестве задана ф-ия u=f(М).При этом множество и U называются соответственно областью определения и областью изменения ф-ии f(М).

Как известно, функция одной переменной y=f(x) изображается на плоскости в виде линии. В случае двух переменных область определения n функции z=f(x,y) представляет собой некоторое множество точек на координатной плоскости Оху. Координата z называется аппликатой, и тогда сама функция изображается в виде некоторой поверхности в пространстве Е^3