Уравнения, допускающие понижение порядка

Уравнения вида: y’’ = f(x) . Нет переменных y и y’ ( 7 )

Решается путем повторного интегрирования. !, !, !

Пусть y’ = p, тогда y’’ = p’ и получаем уравнение 1-ого порядка : p’ = f(x). Умножим на dx обе части уравнения, проинтегрируем и получим p = f(x) dx = F(x) + C₁ , но p = y’ и приходим ко 2 - ому уравнению с разделяющимися переменными: y’ = F(x) + C₁ . Его общее решение : y = F(x) dx + C₁ x + C₂

Пр. y’’ = cos x . Пусть y’ = p , тогда y’’ = p’ и p’ = cos x р.п. dp = cos x dx , p = sin x + C₁ , но p = y’ и y’ = sin x + C₁ р.п. dy = (sin x + C₁) dx , y = - cos x + C₁x + C₂

Пр. y`` = 4 cos 2x , y`` = 1 /(1 + x²) , y``` = 6 / y³

Уравнения вида: F(x, y’ , y’’ ) = 0 . Нет переменной у . ( 8 )

Подстановка y’ = p , y’’ = dp/dx приводит к уравнению первого порядка F(x, p, dp/dx) = 0. Решение этого уравнения p = g(x, C₁) после перехода от p к y’ превращается во второе уравнение с разделяющимися переменными : y’ = g(x, C₁) .

Пр. y’’x = y’ . Пусть y’ = p , тогда y’’ = p’ и p’x = p р.п., его решение :

dp/p = dx/x , dp/p = dx/x , ln p = ln x + ln C₁ = ln C₁x p = C₁x ; но p = y’ y’ = C₁x р.п. или dy = C₁x dx , что дает общее решение y = C₁ x² + C₂ .

Пр. x³y`` + x<sup>2</sup> y` = 1 , y`` x ln x = y` , y`` tg x = y` + 1

Уравнение вида: F(y, y’, y’’ ) = 0 . Нет переменной х . ( 9 )

Подстановка y’ = p и переход от производной по х к производной по у

y’’ = dp/dx = (dp/dy) (dy/dx) = p dp/dy приводит к уравнению 1 - ого порядка

F(y, p, p dp/dy) = 0 . Решение этого уравнения p = g(y, C₁) после перехода от p к y’ превращается во второе уравнение 1 - ого порядка с разделяющимися переменными :

dy = g(y, C₁ ) dx.

Пр. yy’’ + (y’)² = 0 . Пусть y’ = p , тогда y’’ = dp/dx = (dp/dy)(dy/dx) = pdp/dy и yp dp/dy + p² = 0 р.п., его решение: dp/p = -dy/y , dp/p = - dy/y ,

ln p = - ln y + ln C₁ p = C₁/y ; но p = y’ y’ = C₁/y р.п. или ydy = C₁dx , что дает общий интеграл y²/2 = C₁x + C₂ .

Пр. yy`` + (y`)<sup>2</sup> = 0 , y`` tg y = 2(y`)<sup>2</sup> , y`` + 2y(y`)³ = 0

Линейные дифференциальные уравнения. Линейные и однородные диф.Уравнения n - ого порядка (лоду) имеют общий вид

a_n(x) y⁽ⁿ⁾ + a_n-1(x) y^(n-1) + . . . + a₁(x) y’ + a₀(x) y = 0 ( 10 )

где a_i(х) - некоторые дифференцируемые функции. Если в правой части ( 10 ) появляется свободный член f(x) , то уравнение наз. неоднородным (ЛНДУ).

Основные свойства решений ЛОДУ. Пусть y₁ и y₂ - решения ЛОДУ. Тогда их сумма y₁ + y₂ также являются решением. Действительно, т.к. (y₁ + y₂)^{( k )} = (y₁)^{( k )} + (y₂)^{( k )}, то выражение ( 10 ) распадается на два отдельных уравнения, которым удовлетворяют решения y₁ и y₂ . Если y – решение ЛОДУ, то Cy также является его решением. Действительно, т.к. (Су)^{( k )} = C(y)^{( k )} , то общий множитель С в ( 10 ) можно вынести за скобки. Эти примеры показывают, что решения ЛОДУ образуют бесконечно большое множество и их приходится делить на линейно зависимые и независимые .

Опр. Функции y₁, y₂, . . . , y _k наз. линейно зависимыми на интервале (a,b), если любую из них можно представить как линейную комбинацию остальных. Условие линейной зависимости

( 11 )

где c_i -некоторые константы и > 0.

Пусть функции y₁, y₂, . . . , y_n частные, линейно зависимы решения уравнения (10). Эти функции можно дифференцировать не менее чем n раз. Поэтому, кроме условия ( 11 ) справедливы еще n равенств , где m = 1, 2, . . . , n . Составим определитель Вронского (вронскиан)

W_n = ( 12 )

Умножим каждый i столбец на с_i и прибавим к последнему столбцу. В результате все элементы последнего столбца обратятся в 0 по условию ( 11 ), ( 11а) и определитель W_n = 0. Таким образом, общее условие линейной зависимости n частных решений ЛОДУ ( 10 ) эквивалентно условию W_n = 0.