Лнду 2 – ого порядка с постоянными коэффициентами.

y’’ + p y’ + q y = f(x) ( 18 )

Методы поиска частного решения неоднородного уравнения :

а) Метод неопределенных коэффициентов

Используется в случае, если f(x) включает e^ax, полином P_n(x) = a₀ xⁿ + a₁x^{n – 1} +. . + a_n,

sin bx, cos bx или их комбинации f(x) = e^ax [ P_n(x) cos bx + Q_m(x) sin bx ] , где m, b – постоянные , P_n(x) ,Q_m(x) - многочлены степени n, m . Частное решение уравнения ищем в таком же виде y*(x) = e^ax [ P_l(x) cos bx + Q_l(x) sin bx ] и перед каждым слагаемым вводим произвольный коэффициент. Здесь l = n m или l = m n . В полиномах записываются все степени х. В некоторых случаях y*(x) дополнительно умножается на x^r

Если f(x) = P_n(x), то y*(x) = x^r (Axⁿ + Bx^{n – 1} +. . .+ T), где r =

Если f(x) = P_n(x)e^ax, то y*(x) = x^r (Axⁿ + Bx^{n – 1} +. . .+ T)e^ax, где r = ( 19 )

Если f(x) = (Mcos bx + Nsin bx) e^ax, то y*(x) = x^r(Acos bx + Bsinbx)e^ax, где r =

Подстановка такого решения в неоднородное уравнение приводит к системе линейных уравнений для этих коэффициентов. Решение этой системы окончательно определяет вид частного решения y*(x).

Пр. y`` - 6y` + 9y = e^3x

а) Характеристическое уравнение k² - 6k + 9 = (k – 3)² = 0 имеет один корень k₁ = k₂ = 3 . Тогда общее решение однородного уравнения принимает вид y₀ = C₁ e^3x + C₂ x e^3x .

б) Т. к. k₁ = k₂ = а = 3, то частное решение неоднородного ур - я ищем в виде y* = A x² e^3x

y = A x² e^3x | 9

y` = A e^3x (2x + 3x²) | -6

y``= A e^3x (2 + 12x + 9x²) | 1

y`` - 6 y` + 9 = 2A e^3x = e^3x  A = ½

Общее решение исходного уравнения y = y₀ + y* = C₁ e^3x + C₂ x e^3x + ½ x² e^3x .

Пр. y’’ + 2y’ – 3y = sin x .

а) Характеристическое уравнение k² + 2k – 3 = 0 имеет корни k₁ = 1 , k₂ = -3 . Тогда общее решение однородного уравнения y₀ = C₁e^x + C₂e^-3x .

б) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y* = A sin x + B cos x , тогда

y = Asin x + B cos x | -3

y’ = Acos x - B sin x | 2

y’’ = -Asin x - B cos x | 1

y’’ + 2y’ – 3y = -(4A+2B)sin x + (2A-4B)cos x = sin x получаем 2 условия на

коэффициенты: - 4A – 2B = 1 и 2A – 4B = 0, откуда A = - 1/10 , B = - 1/5.

Общее решение исходного уравнения y = y₀ + y* = C₁e^x + C₂e^-3x – 0.1sin x – 0.2cos x .

б) Метод вариации произвольных постоянных

Предлагается частное решение неоднородного уравнения y* искать в виде общего решения однородного уравнения y₀ = A y₁(x) + By₂(x) , где A и B уже не константы, а две произвольные функции от х . После такой замены в левой части уравнения имеем 14 слагаемых, которые можно представить в виде (A’y₁ + B’y₂)’ + +p(A’y₁ + B’y₂) + A’y₁’ + B’y₂’ = f(x) . Переход от одной неизвестной y* к двум А(х) и В(х) позволяет накладывать на них дополнительное условие. Пусть (A’y₁ + B’y₂) = 0, тогда уравнение существенно упрощается и приходим к системе двух линейных уравнений

A’y₁ + B’y₂ = 0 ( 20 )

A’y’₁ + B’y’₂ = f(x)

Из решения системы находим A’, B’ . Интегрируем их и получаем явный вид искомых функций А(х) и В(х).

Пр. y’’ + 2y’ – 3y = x .

а) Характеристическое уравнение k² + 2k – 3 = 0 имеет корни k₁ = 1 , k₂ = -3 . Частные решения однородного уравнения : y₁ = e^x , y₂ = e^-3x .

б) Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде y* = A(x)e^x + B(x)e^-3x

и на производные от неизвестных функций A(x), B(x) накладываем условие ( 20 )

A’(x)e^x + B’(x)e^-3x = 0 A’(x) = x/4 e^-x A(x) = ¼ = -(1+x)/4 e^-x

A’(x)e^x - 3B’(x)e^-3x = x B’(x) = - x/4 e^3x B(x) = -¼ = (1-3x)/36e^3x

Решим систему двух линейных уравнений, вычисляем интегралы и получаем частное решение неоднородного уравнения : y* = - x/3 –2/9 . Проверка:

(- x/3 –2/9)``+ 2(- x/3 –2/9)` - 3(- x/3 –2/9) = x, т.е. x = x.

Общее решение исходного уравнения y = y₀ + y* = - x/3 –2/9 + C₁e^x + C₂e^-3x .