Умножение вектора на число
Определение.
Вектором
,
где
называется такой вектор, что
1)
;
2)
,
если
;
3)
если
;
4)
.
Вектор
называется противоположным для вектора
;
+
.
Свойства операции умножения вектора на число:
для всякого вектора и всякого числа
существует единственный вектор
;
;
;
– ассоциативность;
;
.
дистрибутивность
В этих свойствах
произвольные
действительные числа;
произвольные
векторы.
Разность векторов определяется равенством
следует из 1. и 2.
30. Проекция вектора
Прямую
называют осью, если на ней задано
направление.
Углом между вектором и осью называют наименьший угол, на который надо повернуть вектор, чтобы его направление совпало с направлением оси.
Рассмотрим определенный вектор и ось
Рис.1 Рис.2 Рис.3
Спроектируем
перпендикулярно начало и конец вектора
на ось
.
Полученные точки будем считать
соответственно началом и концом вектора
,
который называется геометрической
проекцией вектора
на ось
(рис. 1 – 3).
Вектор геометрической проекции может иметь направление, совпадающее с направлением оси или противоположное этому направлению. Он также может быть точкой (рис.2), т.е. нулевым вектором .
Введем на оси определенный масштаб.
Определение. Алгебраической проекцией вектора на ось называется длина его геометрической проекции, взятая со знаком «+», если ее направление совпадает с направлением оси и со знаком «–», если направление противоположно.
Алгебраическая
проекция обозначается
.
На рис. 1-3 соответственно имеем:
;
;
.
Всюду далее будем рассматривать только алгебраическую проекцию, которую будем называть проекция.
Алгебраическая проекция – число.
Для проекции справедлива формула:
,
(1)
где
.
40. Линейная зависимость и независимость векторов
Рассмотрим векторы
(1)
Определение 1. Линейной комбинацией векторов (1) называется выражение вида
(2)
где
произвольные
действительные числа.
В результате нахождения линейной комбинации любых векторов получаем вектор.
Определение 2. Векторы (1) – линейно независимы, если равенство
(3)
выполняется только
в случае
.
Определение 3.
Векторы
(1) линейно
зависимы,
если существует хотя бы одно ненулевое
число
такое, что выполняется равенство (3).
Теорема 1. Векторы (1) линейно зависимы тогда и только тогда, когда хотя бы один из них является линейной комбинацией остальных.
Доказательство:
Необходимость.
Допускаем, что
векторы (1) линейно зависимы, т.е. равенство
(3) выполняется при некотором ненулевом
коэффициенте, например
.
Тогда из (3)
.
Достаточность.
Допустим, некоторый вектор является линейной комбинацией остальных векторов
.
Получили равенство
типа (3), причем есть хотя бы один ненулевой
коэффициент при
.
Т.е. векторы линейно зависимы.
Следствие 1. Для того, чтобы два вектора были линейно зависимы, необходимо и достаточно, чтобы они были коллинеарны.
Доказательство:
Необходимость.
Если векторы
коллинеарны, то существует число
такое, что
.
По теореме 1 векторы линейно зависимы.
Достаточность.
Пусть векторы
линейно зависимы, тогда существуют
числа
,
среди которых есть ненулевое, что
выполняется условие линейной зависимости
.
Допустим
.
Тогда
.
Это и есть условие коллинеарности.
Следствие 2. Для того, чтобы три вектора в пространстве были линейно зависимы необходимо и достаточно, что они были компланарными.
Следствие 3. Всякие три вектора на плоскости являются линейно зависимыми.
Следствие 4. Всякие четыре вектора в пространстве являются линейно зависимыми.