30. Смешанное произведение векторов
В результате находжения смешанного произведения получаем число.
Определение.
Смешанным
произведением векторов
,
,
называется скалярное произведение
вектора
и вектора
:
.
(1)
Фактически смешанное произведение – результат двух операций: векторного произведения и скалярного произведения.
Геометрические свойства смешанного произведения:
1)
,
где
объем
параллелепипеда, построенного на
векторах
,
,
;
2) векторы
,
,
образуют правую тройку вектором тогда
и только тогда, когда
;
левую – когда
;
3) Условие
компланарности векторов.
векторы
,
,
компланарны тогда и только тогда, когда
их смешанное произведение равно нулю,
т.е.
.
Алгебраические свойства смешанного произведения:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
;
5)
.
Пусть векторы , , заданы своими координатами
.
Тогда смешанное произведение в координатной форме вычисляется с помощью определителя:
.
Тогда условие компланарности векторов , , можно переписать в виде
.