23. Распределение параметров потока вдоль канала произвольной формы
Характер движения жидкости в каналах определяется степенью внешних воздействий на нее. В практике мы наиболее часто сталкиваемся с геометрическим воздействием, когда имеет место только изменение проходной площади канала. Этот случай оказывается и наиболее простым для анализа. Из уравнения неразрывности
исключим с помощью уравнения количества движения (2.26) член, учитывающий изменение плотности. С этой целью запишем (2.26) в виде
Заменим далее безразмерную скорость М на λ по соотношению (3.20) и разделим левую и правую части на dх. В результате получим обыкновенное дифференциальное уравнение, связывающее изменение скорости с изменением площади:
При dF=0 и λ=1 dλ/dx→∞ , что означает бесконечный разрыв скорости и, следовательно, в сечениях, где dF/dx≠0, переход через скорость звука физически невозможен.
Случай, когда dF=0 и λ=1 , требует особого анализа, который показывает возможность существования точки перегиба на кривой λ (х) , если сечение канала имеет в этом месте минимум площади. Здесь dλ≠0 и дозвуковой поток переходит в сверхзвуковой, а сверхзвуковой становится дозвуковым Для осуществления такого перехода необходим определенный перепад давления, зависящий от степени расширения канала после минимального сечения.
Сказанное может быть наглядно продемонстрировано графически. На рис. 3.4 приведены две диаграммы, соответствующие изменению скорости в канале
Используя зависимости (3.22), (3.22а) и (3.22б), легко найти значения критических параметров, подставив в эти формулы значение λ=1. Тогда
25. одномерные течения при различных внешних воздействиях (уравнение Вулиса Л. А. )
В общем случае на поток могут действовать подвод или отвод теплоты, массы, механической энергии, силы трения и т. д.
Одновременное воздействие всех или большей части указанных факторов затрудняет подробный качественный анализ и требует использования определенных математических соотношений. Получить эти соотношения можно при совместном решении следующей системы уравнений:
1) уравнения неразрывности в форме (3.2а);
2) уравнения импульсов (3.4), где напряжение трения τω целесообразно заменить известной гидравлической формулой
а суммарное изменение массы представить в виде
После указанных замен и некоторых преобразований уравнение (3.4) примет вид
(
при
записи этого уравнения отношение площади
боковой поверхности dS
к сечению канала F
представлено
следующим образом:
);
3) уравнения энергии (3.6), которое после аналогичных преобразований при условии равенства параметров вводимого и основного потоков может быть записано так:
4) уравнения состояния в дифференциальной форме
5) уравнения изменения энтропии
г
де
dS1
— приращение энтропии основного потока,
обусловленное изменением его параметров
в результате внешних воздействий;
— приращение энтропии,
вызванное смешением вводимых дополнительных
потоков жидкости с основным потоком.
Пять приведенных уравнений дают возможность найти пять логарифмических производных параметров dc/c, dp/p, dT/T, dρ/ρ, dS/S. Решение указанной системы уравнений приводит к следующему уравнению, отражающему закон обращения воздействия, сформулированный Л. А. Вулисом [4]:
Здесь η — параметр течения, изменение которого подлежит анализу (это может быть скорость с, давление р, плотность ρ, температура Т); dRx —характеристика рассматриваемого воздействия на выбранный параметр течения η (dF/F — при геометрическом воздействии, dQ — при тепловом, dLт или dLк — при механическом и dт/т — при расходном); gm — коэффициент влияния данного воздействия на поток. Их значения определяются рассматриваемым воздействием и могут быть найдены непосредственно из приведенной табл. 3.1.
Так, если анализируется изменение скорости под действием всех указанных факторов, то с учетом коэффициентов табл. 3.1 вместо общего уравнения (3.42) получим
В табл. 3.1 и уравнении (3.42), как и ранее, y — отношение средних скоростей вводимых газов к скорости основного потока.