- •Тема 1. Поняття як форма мислення.
- •Тема 2. Висловлення і дії над ними.
- •4. Закони комутативності диз’юнкції і кон’юнкції:
- •5. Закони асоціативності диз’юнкції і кон’юнкції:
- •6. Дистрибутивні закони, які зв’язують диз’юнкцію і ко)
- •7. Закони де Моргана.
- •Тема 3. Дії над предикатами, їх
- •Тема 4. Квантори. Відношення
- •2) Квантор загальності (існування) замінити на кван)
- •1) Перед даним висловленням поставити словоспо)
- •Тема 5. Будова теореми. Види теорем.
- •Тема 6.Правильні і неправильні
- •3) Правила силогізму.
- •Тема 1. Поняття як форма мислення. ......... 5
- •Тема 2. Висловлення і дії над ними.
- •Тема 3. Дії над предикатами, їх
- •Тема 4. Квантори. Відношення
- •Тема 5. Будова теореми.
- •Тема 6.Правильні і неправильні
Тема 3. Дії над предикатами, їх
ВЛАСТИВОСТІ
План:
1. Означення предиката. Область визначення і область істин_
ності предиката.
2. Дії над предикатами:
а) заперечення предиката;
б) кон’юнкція двох предикатів;
в) диз’юнкція двох предикатів;
г) імплікація двох предикатів;
д) еквіваленція двох предикатів.
3. Властивості дій над предикатами.
Означення предиката. Область визначення і область
істинності предиката.
Як вказувалось вище (стор. 28), серед речень, крім вислов_
лень, зустрічаються речення, що вміщують змінні, і відносно яких
не можна встановити істинні вони чи хибні. Але при підстановці
значень змінних ці речення перетворюються у висловлення, при_
чому при одних значеннях змінних отримуються істинні вислов_
лення, а при інших _ хибні. Такі речення називаються вислов)
лювальними формами або предикатами. Кожен предикат в
результаті підстановки замість змінних певних значень пород_
жує множину висловлень однакової форми. Наприклад, преди_
кат А(х): “натуральне число х кратне 3” при х=5 перетворюється
у висловлення А(5): “натуральне число 5 кратне 3”, яке хибне, а
при х=6 _ у висловлення А(6): “натуральне число 6 кратне 3”, яке
істинне. Очевидно, речень такої форми (висловлень) можна
одержати нескінченну множину, оскільки множина натуральних
чисел, з якої вибирається значення змінної х, нескінченна.
52
Залежно від кількості змінних предикати бувають одномісні,
двомісні, тримісні, і т.д. і символічно позначаються А(х), А(х,у) і т.д.
З кожним предикатом зв’язана множина, з якої вибираєть_
ся значення змінних. Цю множину називають областю визна_
чення предиката.
Введемо означення.
Означення 1. Одномісним предикатом називається
речення А(х) із змінною х, яке задане на певній мно)
жині Х і при підстановці значень змінної перетво)
рюється у висловлення (істинне або хибне).
Означення 2. Областю визначення предиката А(х)
називається множина тих значень змінної х, при яких
цей предикат перетворюється у висловлення (істин)
не або хибне).
Область визначення прийнято позначати буквою Х.
Означення 3. Областю істинності предиката А(х) на)
зивається множина тих значень змінної, при яких цей
предикат перетворюється в істинне висловлення.
Область істинності предиката А(х) прийнято позначати симво_
лом ТА(х).
ТА(X)={xx є Х ∧А(х) }
Область істинності предиката є підмножиною області його
визначення, тобто TA(х)⊂X , що можна зобразити діаграмою
Ейлера_Венна так:
Двомісний предикат означається ана_
логічно. Слід лише мати на увазі, що оск_
ільки двомісний предикат А(х,у) перетво_
рюється у висловлення при підстановці
пар значень змінних х і у, кожна з яких ви_
бирається з деякої множини Х, то його областю визначення є
множина Х2 всіх можливих пар, утворених з елементів множини
Х, а областю істинності є множина ТА(х,у) тих пар (х,у) з множини
Х2 ((х,у) є Х2), при яких цей предикат перетворюється в істинне
висловлення.
ТA(х,у)={(x,y)/(x,y) є Х2 ∧А(x,у)} — символічний запис області істин_
ності двомісного предиката. Відношення між множинами Х2 і ТА(х,у)
можна записати аналогічно, як і у випадку одномісного предиката:
TA(х,y)⊂X2.
ТА(х) Х
53
Зауваження. Нагадаємо, що Х2, як відомо з теорії множин, є де_
картовим квадратом множини Х, або ж декартовим добутком X×X.
Розглянемо приклад. Нехай дано двомісний предикат:
А(х,у): “х+у=7” на множині одноцифрових натуральних чисел.
Знайдемо область його істинності.
Очевидно, що множина Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Всіх можли_
вих пар з цієї множини можна утворити 81. (Це відомо з теорії
множин:
n(Х2)=n(
X×X
)=n(Х)•n(Х)= 9•9=81).
Не будемо виписувати цих пар, але можемо стверджувати,
що кількість висловлень форми х+у=7, які можна утворити,
підставляючи замість змінних їх значення, буде дорівнювати 81.
Серед цих висловлень будуть істинні і хибні. Легко визначити,
при яких значеннях х і у отримаємо істинні висловлення.
Якщо х=1, то х+у=7 при у=6. Отже, пара (х,у) може бути (1,6),
яка перетворює предикат в істинне висловлення.
Якщо х=2, то х+у=7 при у=5. Отже, пара (2,5) також перетво_
рює предикат в істинне висловлення.
Якщо х=3, то х+у=7 при у=4. Пара (3,4).
Аналогічно отримаємо пари (4,3), (5,2), (6,1).
Нарешті можемо записати область істинності даного пре_
диката. Із загальної формули
TA(x,y)= { (x,y) /(x,y) є Х2 ∧А(х,у) } маємо:
TA(x,y)= { (x,y) /(x,y) є Х2 ∧x+y=7 }
TA(x,y)= { (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1) }
У випадку тримісного предиката кожен раз будемо мати
справу з трійками елементів, тобто областю визначення такого
предиката є множина Х3.
Ми будемо розглядати найчастіше одномісні предикати.
Дії над предикатами
Над предикатами можна виконувати такі самі дії, як і над вис_
ловленнями, лише потрібно, щоб ці предикати були задані на
одній і тій самій області визначення.
а) Заперечення предиката.
Операція заперечення є унарною (стор. 30), а тому її викону_
ють над одним предикатом.
Означення. Запереченням предиката А(х), заданого
на множині Х, називається такий новий предикат
54
А(х)
(читається “не А від х” або “заперечення пре)
диката А(х)”), який перетворюється в істинне вис)
ловлення при тих значеннях змінної х з області виз)
начення Х, при яких даний предикат А(х) перетво)
рюється в хибне висловлення.
Згідно означення маємо, що множина Х є областю визна_
чення обох предикатів А(х) і А(х).
Областю істинності предиката А(х) є множина, яку
позначимо ТА(х) = {x/x є Х ∧А(х)}.
(Читаємо: Область істинності предиката А(х) — це множина
тих значень змінної х з області визначення Х, при яких предикат
А(х) перетворюється в істинне висловлення). Відомо, що
Т А(х ) ⊂ Х .
Зобразимо на діаграмі Ейлера_Венна область визначення Х
як універсальну множину, а область істинності ТА(х), як її підмно_
жину. Позначимо область істинності предиката А(х ) симво_
лом ТА(х) , тобто
Т А(х) = {x/x є Х ∧А(х ) } і виразимо її через ТА(х).
Згідно означення заперечення,
предикат А(х) перетворюється в
істинне висловлення при тих значеннях
змінної х, при яких предикат А(х) пере_
творюється в хибне висловлення. З
діаграми очевидно, що предикат А(х) перетворюється в хибне
висловлення на множині, яка є доповненням до області його
істинності. А це означає, що на цій множині предикат А(х ) пе_
ретворюються в істинне висловлення.
Символічно можемо записати таке співвідношення:
Т А(х ) = Т А(х )
Отже, область істинності заперечення предиката,
заданого на певній множині, дорівнює доповненню
до області істинності даного предиката.
Приклад. На множині М= { x/x є N ∧5 ≤x ≤15 } задано
предикат А(х): “х кратне 3”. Сформулюйте предикат А(х)і виз_
начте його область істинності.
Х
ТА(х)
55
Розв’язання. Областю визначення предиката А(х), згідно
означення, є множина М, яку задамо переліком:
М={5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.
А(х ) : “число х не є кратне 3” — є запереченням даного пре_
диката А(х). Область істинності предиката А(х) _ це множина, яка
складається з тих елементів множини М, при яких даний преди_
кат перетворюється в істинне висловлення, тобто множина, яка
складається з чисел, кратних 3.
ТА(х)= {x/x є М ∧А(х)}, ТА(х)= {x/x є М ∧хM 3}.
ТА(х)= {6; 9; 12; 15}.
Запишемо тепер множину Т А(х) , яка є областю істинності
заперечення даного предиката. За вище поданою формулою
маємо:
ТА(х) = Т А(х ) ={5,7,8,10,11,13,14}.
Ця множина складається з тих елементів області визначення
М, які не кратні 3.
б)Кон’юнкція двох предикатів.
Означення. Кон’юнкцією двох предикатів А(х) і В(х),
заданих на множині Х, називається такий новий пре)
дикат А(х) ∧В(х), який перетворюється в істинне вис)
ловлення лише при тих значеннях змінної х з області
визначення Х ( х є Х ), при яких обидва предикати од)
ночасно перетворюються в істинні висловлення.
Виразимо область істинності складеного предиката, який є
кон’юнкцією даних предикатів, через їх області істинності.
Згідно означення, областю визначення даних предикатів і
їх кон’юнкції є множина Х. Запишемо символічно їх області
істинності.
ТА(х)={x/x є Х ∧А(х) }, ТА(х) ⊂Х;
ТВ(х)={x/x є Х ∧В(х) }, ТВ(х) ⊂Х;
За означенням предикат А(х)∧В(х) перетворюється в істинне
висловлення лише тоді, коли обидва предикати одночасно пере_
творюються в істинні висловлення. Це означає, що до області істин_
ності предиката_кон’юнкції належатимуть тільки ті елементи, які
одночасно належать до областей істинності обох предикатів і пе_
ретворюють кожен з них одночасно в істинне висловлення.
56
З діаграми Ейлера_Венна очевид_
но, що ТА(х)∧В(х) _ область заштрихова_
на на діаграмі.
ТА(х) ∧В(х) = {x/x є Х, А(х) ∧В(х)}=
={x/x є Х, А(х)} ∩{x/x є Х, В(х) } =ТА(х) ∩ТВ(х).
Отже, Т А(х)∧В(х) = ТА(х) ∩ТВ(х) .
Останню формулу читають так:
Область істинності кон’юнкції предикатів дорівнює пе)
рерізу областей істинності цих предикатів.
Цю формулу ми записали обгрунтовуючи діаграму Ейлера_
Венна, спираючись на означення кон’юнкції предикатів.
Наведемо її строге доведення, тобто покажемо, що множи_
ни, які стоять в лівій та правій частинах рівності, справді рівні.
Для доведення скористаємось означенням рівності множин: дві
множини перебувають у відношенні рівності тоді і тільки тоді,
коли кожна із них є підмножиною іншої.
( А=В ⇔А⊂В ∧В⊂А, де А,В _ множини).
Отже, для доведення формули потрібно показати, що
1) Т А(х) ∧В(х) ⊂(ТА(х) ∩ТВ(х)), а, в свою чергу,
2) (ТА(х) ∩ТВ(х)) ⊂Т А(х)∧В(х) .
Доведення: 1. Виберемо довільний елемент а множини Х, який
належить до області істинності кон’юнкції предикатів А(х) ∧В(х).
а є Х, а є Т А(х)∧В(х).
З цього випливає, що предикат А(х) ∧В(х) перетворюється в
істинне висловлення при х=а, тобто висловлення А(а) ∧В(а) _
істинне. А згідно означення кон’юнкції висловлень, вона істинна
лише тоді, коли обидва висловлення істинні. Отже, А(а) і В(а) _
істинні висловлення. Це означає, що елемент а належить і до
області істинності предиката А(х), і до області істинності пре_
диката В(х), тобто а є ТА(х) і а є ТВ(х).
З теорії множин (з означення перерізу) відомо, що якщо еле_
мент належить до двох множин одночасно, то він належить і до
їх перерізу.
Тому а є (ТА(х) ∩ТВ(х)).
X
TA(x)
TB(x)
57
Отже, а є ТА(х) ∧а є ТВ(х) ⇒а є (ТА(х) ∩ТВ(х)).
Оскільки елемент а вибрано довільно з області істинності
кон’юнкції предикатів _ ТА(х) ∧В(х), то такі міркування можна про_
вести відносно кожного елемента множини ТА(х) ∧В(х), що при_
водить до висновку: всі елементи множини ТА(х)∧В(х) належать
до множини ТА(х) ∩ТВ(х). За означенням відношення включення
між множинами випливає, що ТА(х) ∧В(х) ⊂( ТА(х) ∩ТВ(х)). Першу
частину доведення завершено.
2. Виберемо тепер довільний елемент b з множини Х, який
належить до множини, що є перерізом областей істинності да_
них предикатів.
b є Х, b є (ТА(х) ∩ТВ(х)).
За означенням перерізу множин це означає, що елемент b
належить до кожної з множин _ областей істинності даних пре_
дикатів:
b є ТА(х) і b є ТВ(х), тобто
b є (ТА(х) ∩ТВ(х)) ⇒(b є ТА(х) ∧b є ТВ(х) ).
За означенням області істинності предиката останні
співвідношення означають, що при значенні х=b обидва преди_
кати А(х) і В(х) перетворюються в істинні висловлення.
( b є ТА(х) ⇒А(b) _ істинне висловлення;
b є ТВ(х) ⇒В(b) _ істинне висловлення).
Оскільки при х=b обидва предикати перетворюються одно_
часно в істинне висловлення, то за означенням кон’юнкції двох
висловлень висловлення А(b) ∧В(b) також істинне. А це озна_
чає, що при х=b кон’юнкція предикатів А(х) ∧В(х) перетворюєть_
ся в істинне висловлення, а отже, елемент b належить до області
істинності кон’юнкції предикатів:
b є Т А(х) ∧В(х).
Оскільки міркування проводились відносно довільно вибра_
ного елемента b з множини ТА(х) ∩ТВ(х), то такі міркування можна
провести відносно кожного елемента цієї множини. На основі
цього можна стверджувати, що всі елементи множини ТА(х) ∩ТВ(х)
є одночасно елементами множини ТА(х)∧В(х).
За означенням відношення включення між множинами вип_
ливає, що (ТА(х) ∩ТВ(х)) ⊂ТА(х) ∧В(х).
58
Довели другу частину формули. Скористаємось означенням
рівності множин, на основі чого остаточно отримаємо:
( ТА(х)∧В(х) ⊂( ТА(х) ∩ТВ(х) )) ∧( ( ТА(х) ∩ТВ(х) ) ⊂ТА(х)∧В(х) ) ⇒
⇒ТА(х)∧В(х) = ТА(х) ∩ТВ(х).
Отже, формула, що виражає область істинності кон’юнкції
двох предикатів, доведена.
Приклад. На множині Х= {x/x є N ∧x ≤15 } задані два предикати:
А(х): “число х кратне 3”
В(х): “число х парне”.
Утворіть кон’юнкцію даних предикатів і визначте область
істинності її.
Розв’язування. Областю визначення предиката_кон’юнкції є
також множина Х, яку задамо переліком елементів.
Х= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.
Сформулюємо кон’юнкцію даних предикатів:
А(х)∧В(х): “число х _ кратне 3 і парне”.
Щоб визначити область істинності кон’юнкції предикатів, по_
трібно визначити спочатку область істинності кожного з преди_
катів.
ТА(х)={x/x є Х ∧А(х)}={3,6,9,12,15}.
ТВ(х)={x/x є Х ∧В(х)}={2,4,6,8,10,12,14}.
За формулою ТА(х)∧В(х) = ТА(х) ∩ТВ(х) дістаємо:
Т А(х)∧В(х) = {3,6,9,12,15} З {2,4,6,8,10,12,14}= {6,12}.
Отже, ТА(х)∧В(х) = {6,12}. Областю істинності кон’юнкції даних
предикатів на множині Х є множина парних чисел, кратних трьом.
в) Диз’юнкція двох предикатів.
Означення. Диз’юнкцією двох предикатів А(х) і В(х),
заданих на множині Х, називається такий новий пре)
дикат А(х) ∨В(х), який перетворюється в істинне вис)
ловлення лише при тих значеннях змінної х з області
визначення Х, при яких хоча б один з предикатів пе)
ретворюється в істинне висловлення.
Виразимо область істинності складеного предиката, який є
диз’юнкцією даних предикатів, через області істинності даних
предикатів. За означенням, дані предикати і предикат, утворе_
ний в результаті диз’юнкції, мають одну й ту саму облаcть виз_
начення Х.
59
Запишемо символічно їх області істинності:
ТА(х)= {x/x є Х ∧А(х)}, ТА(х)⊂Х;
ТВ(х)= {х/х є Х ∧В(х)}, ТВ(х)⊂Х.
Зобразимо діаграмою Ейлера_Венна область визначення Х
та області істинності даних предикатів.
За означенням диз’юнкції предикат
А(х)∨В(х) перетворюється в істинне вислов_
лення лише при тих значеннях змінної х, при
яких хоча б один з предикатів перетворюєть_
ся в істинне висловлення. Це означає, що до
області істинності предиката_диз’юнкції належатимуть ті елемен_
ти х з області визначення Х, які належать хоча б до однієї з обла_
стей істинності даних предикатів _ ТА(х) або ТВ(х), а отже, до їх
об’єднання. Як очевидно з діаграми Ейлера_Венна, область
істинності диз’юнкції предикатів можна виразити так:
ТА(х)∨В(х) = {х/х є Х, А(х) ∨В(х)}=
={х/x є Х, А(х)} ∪{х/х є Х, В(х)}= ТА(х) ∪ТВ(х).
(Область , заштрихована на діаграмі).
Отже, ТА(х)∨В(х) = ТА(х) ∪ТВ(х) .
Цю формулу читають так:
Область істинності диз’юнкції двох предикатів
дорівнює об’єднанню областей істинності даних
предикатів.
Наведемо строге доведення цієї формули, яке аналогічне до
доведення формули для кон’юнкції предикатів.
Для доведення рівності, достатньо показати, що кожна з
множин є підмножиною іншої, тобто:
1) ТА(х)∨В(х) ⊂(ТА(х)∪ТВ(х))
2) (ТА(х) ∪ТВ(х)) ⊂ТА(х)∨В(х).
Доведення:1) Виберемо довільний елемент а з множини Х,
який належить до області істинності диз’юнкції предикатів.
а є Х, а є ТА(х)∨В(х).
З цього випливає, що при х=а предикат А(х)∨В(х) перетво_
рюється в істинне висловлення, тобто А(а)∨В(а) _ істинне вис_
ловлення. Оскільки диз’юнкція висловлень, згідно означення,
істинна тоді, коли хоча б одне з висловлень істинне, тобто або
А(а) істин не, або В(а). Якщо істинне А(а), то це означає, що
X
TA(x) TB(x)
60
елемент а належить до області істинності предиката А(х), тобто
а є ТА(х), і згідно означення об’єднання множин а є (ТА(х) ∪ТВ(х)).
Якщо істинне висловлення В(а), то, міркуючи аналогічно, при_
ходимо до висновку, що елемент а належить до області істин_
ності предиката В(х), тобто а є ТВ(х), і згідно означення об_
’єднання множин а є (ТА(х)∪ТВ(х)). Оскільки елемент а вибирали
довільно з множини ТА(х)∨В(х) _ області істинності предиката_диз_
’юнкції, то аналогічні міркування можна провести відносно кож_
ного елемента цієї множини, на основі чого можна стверджува_
ти, що всі елементи множини ТА(х)∨В(х) _ області істинності пре_
диката_диз’юнкції належать і до множини ТА(х) ∪ТВ(х), тобто до
об’єднання областей істинності даних предикатів. А за озна_
ченням відношення включення множин з цього випливає, що
ТА(х)∨В(х) ⊂( ТА(х)∪ТВ(х) ).
Першу частину доведення завершено.
2. Виберемо довільний елемент b з множини Х, який нале_
жить до множини ТА(х)∪ТВ(х), що є об’єднанням областей істин_
ності даних предикатів .
b є Х , b є (ТА(х)∪ТВ(х) ) .
За означенням об’єднання це означає, що елемент b нале_
жить хоча б до однієї з множин, тобто b є ТА(х) або
b є ТВ(х) . Якщо b є ТА(х), то за означенням області істинності
випливає, що предикат А(х) при х=b перетворюється в істинне
висловлення, тобто А(b) _ істинне висловлення. Якщо ж b є ТВ(х)
, то аналогічно міркуючи, дістанемо, що висловлення В(b) _ істин_
не . Оскільки хоча б одне з висловлень А(b) або В(b) _ істинне, то
за означенням диз’юнкції висловлень буде істинним і вислов_
лення А(b)∨В(b). Останнє означає, що при х=b предикат
А(х) ∨В(х) перетворюється в істинне висловлення, а отже, еле_
мент b належить до області істинності предиката_диз’юнкції (b
є ТА(х)∨В(х)) . Оскільки елемент b вибирали довільно з множини
ТА(х)∪ТВ(х), то аналогічні міркування можна провести відносно
будь_якого (кожного) елемента цієї множини і на основі цього
стверджувати, що всі елементи множини ТА(х)∪ТВ(х) належать і
до множини ТА(х)∨В(х). За означенням відношення включення мно_
жин виходить, що
( ТА(х)∪ТВ(х) ) ⊂ТА(х)∨В(х).
Другу частину доведення завершено. Тепер на основі озна_
чення рівності множин остаточно маємо:
61
(ТА(х)∨В(х) ⊂(ТА(х)∪ТВ(х) ))∧(( ТА(х)∪ТВ(х) )⊂ТА(х)∨В(х). ) ⇒
⇒ТА(х)∨В(х). = (ТА(х)∪ТВ(х) ).
Отже, формула, що виражає область істинності диз’юнкції
двох предикатів, доведена.
Приклад. На множині Х={x/x є N ∧x ≤15} задані два предикати:
А(х) : “число х кратне 3” і В(х): “число х парне”.
Утворіть диз’юнкцію даних предикатів і визначте область
істинності її.
Розв’язування. Множина Х є областю визначення даних пре_
дикатів і складеного предиката, утвореного в результаті диз’_
юнкції. Задамо множину Х переліком елементів:
Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.
Утворимо диз’юнкцію даних предикатів:
А(х) ∨В(х) : “число х кратне 3 або парне”.
Запишемо області істинності даних предикатів:
TA(x) = { x/x є X, A(x)} = {3,6,9,12,15}.
TB(x) = { x/x є X, B(x)} = {2,4,6,8,10,12,14}.
Визначимо область істинності складеного предиката_диз’_
юнкції, скориставшись формулою:
TA(x)∨B(x) = TA(x) ∪TB(x).
Отже, в даному випадку маємо:
TA(x) ∨B(x) ={3,6,9,12,15}∪{2,4,6,8,10,12,14}=
={2,3,4,6,8,9,10,12,14,15}.
Отримали множину, де кожен елемент її є або числом, крат_
ним 3, або парним числом.
г) Імплікація двох предикатів.
Означення. Імплікацією двох предикатів А(х) і В(х),
заданих на множині Х, називається такий новий пре)
дикат А(х)⇒В(х) (читають: “Якщо А(х), то В(х)”), який
перетворюється в хибне висловлення при тих зна)
ченнях змінної х з області визначення Х (х є Х), при
яких предикат А(х) перетворюється в істинне вислов)
лення, а В(х) ) в хибне. А(х) називають умовою, а В(х)
) висновком (наслідком) імплікації.
Виразимо область істинності імплікації даних предикатів
А(х)⇒В(х) через їх області істинності. Згідно означення, мно_
62
жина Х є областю визначення імплікації. Запишемо символ_
ічно області істинності даних предикатів:
ТА(х) = { х/х є Х, А(х) }, ТА(х) ⊂Х,
ТВ(х) = { х/х є Х, В(х) }, ТВ(х) ⊂Х .
Зобразимо їх діаграмою Ейлера_Венна і, аналізуючи
означення, виявимо і заштрихуємо на діаграмі область
істинності предиката А(х)⇒В(х).
Для проведення міркувань позна_
чимо утворені чотири області, на які
розбита множина Х, в послідовності
зліва направо так, як показано на діаг_
рамі: І, II, III, IV.
Виберемо довільний елемент а з
області І. При х=а предикати А(х) і В(х)
перетворюються в хибні висловлення, бо а не належить до жод_
ної з областей істинності.
Отже, А(а)=0 і В(а)=0. (Нагадаємо, що 0 означає хибне
висловлення). Утворимо імплікацію цих висловлень:
А(а)⇒В(а). Отримане висловлення істинне, бо 0⇒0 = 1 (див.
таблицю значень логічної вартості імплікації висловлень).
Це означає, що при кожному елементі х=а з області І імпліка_
ція предикатів А(х)⇒В(х) перетворюється в істинне вислов_
лення. А тому елементи цієї області (І), яка є доповненням
до об’єднання областей істинності даних предикатів, нале_
жать до області істинності їх імплікації _ ТА(х)⇒В(х) (заштрихує_
мо область І).
Виберемо тепер довільний елемент b з області ІІ. При
х=b предикат А(х) перетворюється в істинне висловлення,
а предикат В(х) _ в хибне, тобто А(b)=1 і В(b)=0. Імплікація
цих висловлень А(b)⇒В(b) є хибним висловленням, бо
1⇒0 = 0. А отже, при кожному елементові х=b з області ІІ
імплікація предикатів А(х)⇒В(х) перетворюється в хибне
висловлення. Тому елементи цієї області не належать до
області істинності імплікації предикатів _ ТА(х)⇒В(х). (Не заш_
триховуємо її).
Виберемо далі довільний елемент с з області ІІІ. При х=с обид_
ва предикати А(х) і В(х) перетворюються в істинні висловлення,
тобто А(с)=1 і В(с)=1. Імплікація цих висловлень А(с)⇒В(с) _ істин_
не висловлення, бо 1⇒1 = 1. А це означає, що при будь_якому
I X
II d
III IV
TA(x) c
b TB(x)
a
63
значенні х=с з області ІІІ імплікація предикатів А(х)⇒В(х) пере_
творюється в істинне висловлення. Тому елементи області ІІІ на_
лежать до області істинності імплікації предикатів ТА(х)⇒В(х). (За_
штрихуємо область ІІІ).
Нарешті виберемо довільний елемент d з області ІV. При
х=d предикат А(х) перетворюється в хибне висловлення, а пре_
дикат В(х) _ в істинне, тобто А(d)=0 і В(d)=1. Імплікація цих
висловлень А(d)⇒В(d) є висловленням істинним, бо 0⇒1 = 1.
Це означає, що при кожному елементі х=d з області ІV імпліка_
ція предикатів А(х)⇒В(х) перетворюється в істинне висловлен_
ня. Тому всі елементи області ІV належать до області істинності
імплікації предикатів _ ТА(х)⇒В(х). (Заштрихуємо цю область).
Отже, як очевидно з діаграми, областю істинності імплікації
предикатів є вся область визначення Х без області ІІ (на діаграмі).
Як виразити цю область ТА(х)⇒В(х) за допомогою формули?
Скористаємось для цього виведеними вище формулами обла_
стей істинності складених предикатів. Крім цього, відзначимо,
що імплікація предикатів зв’язана з операціями диз’юнкції і за_
перечення так само, як і імплікація висловлень:
A⇒B=A∨B (для висловлень);
А(х)⇒В(х) = А(х) ∨В(х) (для предикатів).
Виведемо формулу для області істинності імплікації преди_
катів:
Т А(х)⇒В(х) = {x/x є X, А(х)⇒В(х)} =
застосуємо вище наведену формулу
= {x/x є Х, А(х) ∨В(х)} =
застосуємо формулу для знаходження області істинності
диз’юнкції предикатів
= {x/x є Х, А(х)} ∪{x/x є Х, В(х)}=
застосуємо формулу для знаходження області істинності
заперечення предиката
= {x x єX, A(x)}∪{x/x є Х, В(х)}= Т А(х) ∪ТВ(х).
Отже, остаточно отримали формулу
Т А(х)⇒__________В(х) = Т А(х) ∪ТВ(х),
яку читають так:
64
Область істинності імплікації предикатів дорівнює
об’єднанню доповнення до області істинності пре)
диката)умови з областю істинності предиката)вис)
новку.
Приклад. На множині Х= {x/x є N, x ≤15} задано два предика_
ти
А(х): “число х кратне 3”
В(х): “число х _ парне”.
Утворити імплікацію предикатів А(х)⇒В(х) і визначити її об_
ласть істинності.
Розв’язування. Задамо переліком область визначення Х да_
них предикатів і утвореного в результаті операції імплікації но_
вого складеного предиката А(х)⇒В(х): “Якщо число х кратне 3,
то воно парне”.
Х= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.
Запишемо області істинності даних предикатів:
TA(x) = { x/x є X, A(x)} = {3,6,9,12,15};
TB(x) = { x/x є X, B(x)} = {2,4,6,8,10,12,14}.
За формулою знаходження області істинності імплікації пре_
дикатів маємо:
Т А(х)⇒В(х) = Т А(х) И ТВ(х).
Визначимо спочатку Т А(х) :
Т А(х) =Х \ ТА(х).
Т А(х) ={x/x ∈Х ∧х ∉TА(х)}=
={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14}.
Підставимо значення у формулу, дістанемо:
ТА(х)⇒В(х)={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14}∪{2,4,6,8,10,12,14}=
={1,2,4,5,6,7,8,10,11,12,13,14}.
Примітка: На самому початку ми вказували, що формальна і
математична логіка розглядає структуру тверджень незалежно
від змісту. Попередній приклад, власне, передбачає розгляд
імплікативної структури незалежно від логічного зв’язку між
змістом окремих предикатів.
Звичайно в математиці найчастіше розглядаються тверд_
ження, які логічно пов’язані між собою змістом і мають імпліка_
65
тивну структуру. Відношення між такими предикатами назива_
ють відношенням логічного слідування. (Ми розглянемо їх у
наступній темі).
д) Еквіваленція двох предикатів.
Означення. Еквіваленцією двох предикатів А(х) і В(х),
заданих на множині Х, називається такий новий пре)
дикат А(х)⇔В(х) (читають: “А(х) тоді і тільки тоді, коли
В(х)” або “А(х) еквівалентне (рівносильне) В(х)”), який
перетворюється в істинне висловлення при тих зна)
ченнях змінної х з області визначення Х, при яких
обидва предикати одночасно перетворюються у вис)
ловлення однакової вартості (або обидва істинні, або
обидва хибні).
Запишемо символічно області істинності даних предикатів,
зобразимо їх діаграмою Ейлера_Венна і виведемо формулу
області істинності предиката_еквіваленції.
ТА(х) = { х/х є Х, А(х) }, ТА(х) ⊂Х,
ТВ(х) = { х/х є Х, В(х) }, ТВ(х) ⊂Х .
Спираючись на діаграму, обгрунтує_
мо, що являє собою область істинності
еквіваленції предикатів. Обидва преди_
кати А(х) і В(х) перетворюються одночасно в істинні висловлен_
ня на множині, яка є перерізом областей істинності даних пре_
дикатів (область I на діаграмі).
Справді для довільного елемента а з області I
А(а) = 1 і В(а) =1, а тому А(а)⇔В(а) _ істинне висловлення, бо
1⇔1=1.
А це означає, що складений предикат А(х)⇔В(х) перетво_
рюється в істинне висловлення при всіх значеннях х=а з області
I, яка дорівнює ТА(Х) ∩ТВ(Х). Ця множина включається в область
істинності еквіваленції предикатів, тобто
(ТА(х) ∩ТВ(х)) ⊂ТА(х)⇔В(х) . ( Заштрихуємо на діаграмі ).
На області II, яка є доповненням до об’єднання областей
істинності предикатів, обидва предикати перетворюються
одночасно в хибні висловлення. Справді, для довільного
елемента b з області II маємо: А(b)=0 і В(b)=0 . Еквіваленція цих
X
ІII d
I IV
TA(x) а
с TB(x) ІІ
b
66
висловлень А(b)⇔В(b) є істинним висловленням, бо 0⇔0=1 (
див. таблицю значень логічної вартості еквіваленції). А це
означає, що складений предикат А(х)⇔В(х), який є еквіваленцією
даних предикатів, перетворюється в істинне висловлення на
області II, яка дорівнює за правилом де Моргана доповненню до
об’єднання областей істинності даних предикатів:
ТA(x) ∪ТВ(x) = Т А(x) ∩Т В(x) .
(Заштрихуємо на діаграмі).
На області III предикат А(х) перетворюється в істинне
висловлення, а предикат В(х) в хибне. Справді для довільного
елемента с з цієї області маємо: А(с)=1 , а В(с)=0. Еквіваленція
цих висловлень є висловленням А(с)⇔В(с) _ хибним, бо 1⇔0 =
0. А це означає, що при всіх значеннях х з області III предикат
А(х) ⇔В(х) перетворюється в хибне висловлення. Тому область
III не належить до області істинності еквіваленції предикатів _
ТА(х)⇔В(х) ( її не заштриховуємо ).
Аналогічно на області IV предикат А(х) перетворюється в
хибне висловлення, а предикат В(х) _ в істинне, бо для довільного
елемента d з цієї області маємо: А(d)=0, B(d)=1. Еквіваленція
цих висловлень є хибним висловленням : А(d)⇔В(d)=0, бо 0⇔1
= 0. Це означає, що для довільного значення х=d з області IV
предикат А(х)⇔В(х) перетворюється в хибне висловлення. Тому
область IV до області істинності еквіваленції не включається ( її
не заштриховуємо).
Таким чином, область істинності еквіваленції двох предикатів
А(х) і В(х) являє собою об’єднання двох областей з множини Х:
ТА(х) ⇔В(х) = ( ТА(Х) ∩ТВ(Х) ) ∪(Т А(x) ∩Т В(x) )
До цієї формули можна прийти, застосовуючи виведені вище
формули знаходження областей істинності складених преди_
катів.
Зауважимо, що в алгебрі предикатів має місце формула, яка
зв’язує операції еквіваленції і імплікації так само, як в алгебрі
висловлень:
А⇔В = ( А ⇒В ) ∧( В ⇒А ) ( в алгебрі висловлень),
А(х)⇔В(х)=(А(х)⇒В(х))∧(В(х)⇒А(х)) (в алгебрі
предикатів).
Застосуємо цю формулу до знаходження області істинності
67
еквіваленції предикатів:
ТА(х)⇔В(х)={х/х є Х, А(х) ⇔В(х)}=
={х/х є Х, (А(х) ⇒В(х)) ∧(В(х) ⇒А(х))}=
застосуємо формулу для знаходження області істинності кон’_
юнкції предикатів
= {х/х є Х, А(х) ⇒В(х) }∩{х/х є Х, В(х) ⇒А(х) }=
застосуємо формулу для знаходження області істинності
імплікації предикатів
=(Т А(x) ∪ТВ(х) ) ∩(Т В(x) ∪ТА(х))=
виконаємо дії над множинами, використавши дистрибутивний
закон перерізу відносно об’єднання
=(Т А(x) ∩Т В(x) ) ∪(Т А(x) ∩ТА(х) ) ∪( ТВ(х) ∩Т В(x) ) ∪
∪( ТВ(х) ∩ТА(х) )
З теорії множин відомо, що переріз множини з її доповнен_
ням дорівнює порожній множині. Тому
ТА(х) ⇔В(х) = (Т А(x) ∩Т В(x) ) ∪∅∪∅∪( ТВ(х) ∩ТА(х) ).
Застосуємо переставну властивість перерізу і об’єднання і
остаточно отримаємо :
ТА(х)⇔В(х) = ( ТА(х) ∩ТВ(х) ) ∪(Т А(x) ∩Т В(x) ).
Цю формулу читають так:
Область істинності еквіваленції предикатів дорівнює
об’єднанню перерізу областей істинності даних пре)
дикатів з перерізом доповнень до цих областей
істинності.
Приклад. На множині Х={ х/х є N, х ≤15 } задано два
предикати:
А(х): “число х кратне 3”
В(х): “число х _ парне”
Утворити еквіваленцію цих предикатів і визначити область її
істинності .
Розв’язування. Задамо множину Х переліком елементів.
Х={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15}.
Запишемо області істинності даних предикатів:
ТА(х) = { х/х є Х, А(х) } = { 3,6,9,12,15}; ТА(х)⊂Х;
ТВ(х) = { х/х є Х, В(х) } = { 2,4,6,8,10,12,14 };ТВ(х)⊂Х.
68
Утворимо еквіваленцію предикатів А(х) і В(х):
А(х) ⇔В(х): “число х кратне 3 тоді і тільки тоді, коли воно
парне”.
Визначимо область істинності цього складеного предиката
за виведеною вище формулою, пам’ятаючи, що областю його
визначення є дана множина Х .
ТА(х)⇔В(х) = ( ТА(х) ∩ТВ(х) ) ∪(Т А(x) ∩Т В(x) ).
Знайдемо спочатку доповнення до областей істинності даних
предикатів :
Т А(х) = Х \ ТА(х) = {x/x ∈Х ∧х ∉ТА(х)}=
={1,2,4,5,7,8,10,11,13,14}.
Т В(x) =Х \ ТВ(х)= {x/x ∈Х ∧х ∉ТВ(х)}=
={1,3,5,7,9,11,13,15}.
Підставимо значення областей істинності предикатів і їх
доповнень у формулу і дістанемо:
ТА(х)⇔В(х)=({3,6,9,12,15}∩{2,4,6,8,10,12,14})∪
∪({1,2,4,5,7,8,10,11,13,14}∩{1,3,5,7,9,11,13,15}) =
={6,12}∪{1,5,7,11,13}={1,5,6,7,11,12,13}.
Властивості дій над предикатами
Дії над предикатами задовольняють таким самим
властивостям, що й дії над висловленнями :
1. Закон подвійного заперечення предиката:
А(х) =А(х), х є Х; Х _ область визначення предиката.
2. Комутативність диз’юнкції і кон’юнкції предикатів:
А(х) ∨В(х) = В(х) ∨А(х), х єХ ,
А(х) ∧В(х) = В(х) ∧А(х), х є Х.
3. Асоціативність диз’юнкції і кон’юнкції предикатів:
(А(х) ∨В(х)) ∨С(х) = А(х) ∨(В(х) ∨С(х)), х є Х,
(А(х) ∧В(х)) ∧С(х) = А(х) ∧(В(х) ∧С(х)), х є Х .
4. Дистрибутивність кон’юнкції відносно диз’юнкції:
(А(х) ∨В(х)) ∧С(х) = (А(х) ∧С(х) )∨(В(х) ∧С(х)) _
69
правий дистрибутивний закон кон’юнкції відносно
диз’юнкції;
(А(х) ∧(В(х) ∨С(х) ))= (А(х) ∧В(х) ) ∨( А(х) ∧С(х)) _
лівий дистрибутивний закон кон’юнкції відносно
диз’юнкції.
5. Дистрибутивність диз’юнкції відносно кон’юнкції:
(А(х) ∧В(х)) ∨С(х) = (А(х) ∨С(х) ) ∧(В(х) ∨С(х)) _
правий дистрибутивний закон диз’юнкції відносно
кон’юнкції;
А(х) ∨(В(х) ∧С(х) )= (А(х) ∨В(х) ) ∧( А(х) ∨С(х)) _
лівий дистрибутивний закон диз’юнкції відносно
кон’юнкції.
6. Закон протиріччя, який зв’язує кон’юнкцію і заперечення
даного предиката:
А(х) ∧А(х) =0, де 0 _ тотожно хибний предикат, тобто
предикат А(х) ∧А(х) при всіх значеннях х з області визначення
Х перетворюється в хибне висловлення.
7. Закон виключеного третього, який зв’язує диз’юнкцію і
заперечення даного предиката:
А(х) ∨А(х) =1, де 1 _ тотожно істинний предикат, тобто
предикат А(х) ∨А(х) при всіх значеннях х з області визначення
Х перетворюється в істинне висловлення.
8. Закони де Моргана.
а) заперечення кон’юнкції предикатів дорівнює диз’юнкції їх
заперечень.
А(х)∧В(х)= А(х)∨В(х) .
б) заперечення диз’юнкції предикатів дорівнює кон’юнкції їх
заперечень.
А(х)∨В(х)= А(х)∧В(х) .
9. Закон, що зв’язує операції імплікації, диз’юнкції і запере_
чення:
А(х) ⇒В(х) = А(х) ∨В(х).
70
10. Закон, що зв’язує операції еквіваленції, кон’юнкції і
імплікації предикатів:
А(х)⇔В(х) = (А(х) ⇒В(х)) ∧(В(х) ⇒А(х)).
Довести ці властивості, тобто переконатись у їх справедли_
вості, можна обгрунтувавши, що предикати, які стоять в лівій та
правій частинах рівності мають однакові області істинності при
умові, що вони задані на одній і тій самій області визначення Х.
Покажемо це на прикладі доведення закону де Моргана про
заперечення диз’юнкції предикатів.
А(х)∨В(х)= А(х)∧В(х) , х є Х.
Позначимо ТА(х) _ область істинності предиката А(х) і ТВ(х) _
область істинності предиката В(х) , тобто
ТА(х) ={ х/х є Х, А(х) }, ТВ(х) ={ х/х є Х, В(х) }.
Визначимо область істинності предиката, що стоїть в лівій
частині рівності, і виконаємо тотожні перетворення, спираю_
чись на раніше виведені формули.
Область істинності заперечення предиката дорівнює допов_
ненню до області істинності цього предиката:
Т Т А(х)∨ В(х) = А(х)∨ В(х) =
Під знаком доповнення стоїть область істинності диз’юнкції
предикатів, яка дорівнює об’єднанню областей істинності да_
них предикатів:
=ТА(х) ∪ТВ(х) =
За законом де Моргана про те, що доповнення до об’єднан_
ня множин дорівнює перерізу доповнень до цих множин має_
мо:
=Т А(х) ∩ Т В(х) =
Доповнення до множини істинності даного предиката є об_
ластю істинності заперечення цього предиката, тобто
Т А(х) Т А(х) = і Т В(х) Т В (х) = , а тому:
TA(x)∨B(x) = Т А(х) ∩ Т В (х) =
Переріз областей істинності двох предикатів є областю істин_
ності кон’юнкції цих предикатів:
= ∧ T A(x) B(x) .
71
Отже, ми довели, що Т А(х)∨ В (х) = ∧ T A(x) B(x) , тобто, що
предикати лівої і правої частин рівності мають однакові області
істинності. Це означає, що властивість
А(х)∨В(х)=А(х)∧В(х) _ справедлива для всіх х є Х.
Зразки розв’язування вправ з теми “Дїї над предиката)
ми, їх властивості”.
Вище, при розкритті змісту дїй над предикатами, подано
зразки розв’язування вправ на знаходження області істинності
складеного предиката, утвореного в результаті виконання пев_
них операцій над двома предикатами з однією змінною, які за_
дані на скінченній множині, що є підмножиною множини нату_
ральних чисел. Але в математиці часто зустрічаються вправи,
які мають дещо іншу структуру і вимагають знаходження області
істинності складеного предиката, утвореного з предикатів, за_
даних на нескінченній числовій множині. Прикладами таких пре_
дикатів є рівняння і нерівності. Множини їх розв’язків є областя_
ми їх істинності, а кожен окремий розв’язок є елементом з об_
ласті істинності.
Покажемо застосування теоретичних відомостей про дії над
предикатами до розв’язування рівнянь і нерівностей.
Завдання 1. Обгрунтуйте, які з речень є одномісними, дво_
місними чи тримісними предикатами. Вкажіть, які множини мо_
жуть бути областями їх визначення, тобто який зміст мають
змінні, що входять до них:
а) 3х+5=4, б) sin + =,
в) sin x = cos y, г) х2 + у2 ≤4,
д) х + у = z.
Розв’язування. а) 3х+5=4. Ця рівність вміщує змінну х , тобто
являє собою рівняння з однією змінною х, яка може набувати
значень з довільної числової множини N, Z, Q, R або з її підмно_
жини.
Для того, щоб показати, що речення з однією змінною є вис_
ловлювальною формою або предикатом, треба показати, що
при одних значеннях змінної воно перетворюється в істинне
висловлення, а при інших _ в хибне.
Якщо розглядати дане рівняння (3х+5=4 ) на множині нату_
ральних чи цілих чисел (N або Z), то при всіх значеннях змінної х
з цих числових множин воно перетворюється в хибне вислов_
72
лення. Це означає, що не існує жодного натурального чи цілого
числа (х є N, або х є Z), яке перетворювало б дане рівняння в
правильну (істинну) числову рівність. Тому можемо стверджува_
ти, що на множині натуральних чисел (N), так само як і на множині
цілих чисел (Z), дане рівняння з однією змінною є тотожно хиб_
ним предикатом. Іншими словами, якщо областями визначення
одномісного предиката А(х): “3х+5=4” вважати множини N або
Z, то маємо тривіальний випадок, який не представляє інтересу.
Якщо розглядати це рівняння на множині Q _ раціональних
чисел, то оскільки N і Z є підмножинами множини Q, можна
стверджувати, що при певних значеннях змінної х з множини Q
(х є N або х є Z, N ⊂Q, Z ⊂Q ) воно перетворюється в хибне
висловлення (хибну числову рівність). Крім цього, існує раціо_
нальне число х= − 1
3 , при якому дане рівняння перетворюється
в істинну числову рівність, тобто
якщо х= − 1
3
, то А( − 1
3
): “3•( − 1
3
)+5=4”, тобто “_1+5=4”,
“4=4”.
А тому доцільно розглядати множину Q раціональних чисел
областю визначення даного одномісного предиката А(х): “3х+5=4”.
Оскільки Q ⊂R, то цей одномісний предикат можна
розглядати і на множині дійсних чисел R.
Відповідь: А(х) : “3х+5=4” _ одномісний предикат з областю
визначення Q або R.
б) sin + =. Дане речення не вміщує змінної, а є істинним
висловленням, тому що sin =0, 0+ =, =.
Отже, це речення не є предикатом, а висловленням.
в) sin x = сos y. Це речення вміщує дві змінні х і у, а тому його
можна вважати висловлювальною формою з двома змінними,
якщо переконатись, що при одних значеннях змінних воно пе_
ретворюється в істинне висловлення, а при інших _ в хибне.
(Взагалі в математиці такі двомісні предикати називають
тригонометричними рівняннями з двома змінними).
Оскільки тригонометричні функції у вузькому розумінні _ це
функції, аргументами яких є кути, виражені градусною чи раді_
анною мірою, а в широкому розумінні _ це функції дійсної змінної,
тому легко переконатись, коли дане тригонометричне рівняння
перетворюється в істинну, а коли _ в хибну числову рівність.
73
Якщо х=45°, а у=60°, то sin x = sin 45°=
1
2
,
а cos y = cos 60° = 1
2
.
Оскільки
1
2
1
2
≠ , то рівність sin 45° = cos 60° _ хибне висловлення.
Якщо х=30°, а у=60°, то sinx=sin30°= 1
2
,
a cos y = cos 60° = 1
2
.
Оскільки 1
2
= 1
2
, то рівність sin 30° = cos 60° _ істинне висловлення.
Отже, двомісний предикат А(х,у): “sin x = cos y” при од_
них значеннях змінних х і у _ кутів, виражених градусною
мірою, перетворюється в істинне висловлення, а при інших
_ в хибне висловлення. Тому областю його визначення можна
вважати множину всіх пар кутів, виражених градусною мірою.
Аналогічно, коли аргументами є довільні дійсні числа, що
виражають радіанну міру кутів, то областю визначення да_
ного двомісного предиката є множина всіх пар дійсних чи_
сел _ R2.
Справді, при х=
π
6
і у=
π
3
предикат sin x = cos y перетво_
рюється в істинне висловлення sin
π
6
= cos
π
3
, бо 1
2
= 1
2
, а при
х=
π
4 і у=
π
3
даний предикат перетворюється в хибне вислов_
лення sin
π
4 = cos
π
3
, бо
1
2
1
2
≠ .
Відповідь: А(х,у): “sin x = cos y” _ двомісний предикат з обла_
стю визначення R2.
г) Речення х2+у2 ≤4 вміщує дві змінні х і у, а тому воно є
двомісним предикатом: А(х,у): “х2+у2 ≤4”, який в математиці
називається нерівністю з двома змінними.
Цю нерівність можна розглядати на будь_якій з числових
множин N, Z, Q, R, бо на кожній з них при одних значеннях пар
змінних нерівність перетворюється в правильну числову
нерівність, а при інших _ в хибну.
Справді, при х=2 і у=1, (2;1) є N2, х2+у2= 22 + 12 =
= 4+1=5; 5≤4 _ хибне висловлення .
74
Отже, при значенні змінних (х,у) = (2;1) є N2 предикат х2+у2
≤4 перетворюється в хибне висловлення.
Але на множині N2 можна вказати пару (х,у), при якій преди_
кат перетворюється в істинне висловлення.
Наприклад: (х,у) = (1;1) є N2,
х2+у2=12 + 12 =2; 2 ≤4 _ істинне висловлення.
Тому двомісний предикат А(х,у) : “х2+у2 ≤4” має область
визначення N2.
Оскільки N ⊂Z ⊂Q ⊂R, то областю визначення даного пре_
диката можна вважати також одну з множин Z2 , або Q2, або R2
.
д) х+у=z. Речення вміщує три змінні x, y, z, а тому воно є
тримісним предикатом , який можна розглядати на множині
(найвужчій) натуральних чисел, тобто змінні x, y, z можуть набу_
вати значень з множини N.
Оскільки, кожен раз для встановлення того, чи предикат пе_
ретворюється в істинне висловлення чи в хибне, слід вибирати
трійку значень змінних (x,y,z), тому областю визначення даного
предиката є множина N3.
Справді, якщо наприклад, х=2, у=3, z=5, то предикат х+у=z
перетворюється в істинне висловлення 2+3=5, тобто трійка
(x,y,z)=(2;3;5) є N3 перетворює даний предикат в істинну число_
ву рівність. Але трійка (5;2;3) є N3 перетворює даний предикат в
хибну числову рівність.
(5+2=3 _ хибне висловлення).
Оскільки N ⊂Z ⊂Q ⊂R, то областю визначення тримісного
предиката А(x,y,z):“x+y=z” можна вважати одну з множин N3,
Z3, Q3, R3.
Завдання 2 . Визначити область істинності предиката А(х):
“х3 _ 9х =0”, якщо його областю визначення є :
а) множина N _ натуральних чисел ;
б) множина Z _ цілих чисел ;
в) множина Q _ раціональних чисел;
г) множина R _ дійсних чисел .
Розв’язування: а) Нехай х є N, тобто область визначення X=N.
Згідно означення області істинності її можна записати так :
ТА(х) = { х/х є Х , А(х) } = { х/х є N, х3 _ 9х =0 }.
Виконаємо тотожне перетворення предиката А(х), розклав_
ши його ліву частину на множники, одержимо:
75
ТА(х) = { х/х є N, х(х_3)(х+3)=0 }. Оскільки добуток дорівнює
нулеві тоді, коли хоч один з множників дорівнює нулеві, то даний
предикат можна розглядати, як диз’юнкцію трьох предикатів.
ТА(х) = { х/х є N, (х=0) ∨(х_3=0) ∨(x+3=0) }.
Оскільки область істинності диз’юнкції предикатів дорівнює
об’єднанню областей істинності даних предикатів, то область
ТА(х) можемо записати так:
ТА(х) = { х/х є N, х=0 } ∪{ х/х є N, х_3=0 } ∪{ х/х є N, х+3=0 }. (*)
Запишемо кожну із складових множин:
{ х/х є N, х=0 } =∅, бо 0 ∉ N,
{ х/х є N, х_3=0 } = { х/х є N, х=3 }={3} , бо 3 є N .
{ х/х є N, х+3=0 }= { х/х є N, х=_3 }=∅, бо _3 ∉ N.
Остаточно маємо : ТА(х) = ∅∪{3} ∪∅= {3}.
Отже, якщо областю визначення предиката А(х): “х3 _ 9х = 0”
є множина натуральних чисел ( X = N ), то область істинності
ТА(х) ={3}; TА(х) ⊂N .
б) Якщо х є Z , тобто областю визначення даного предиката
є множина цілих чисел, то запис розв’язування матиме
аналогічний вигляд, лише замість N слід записати Z, а на
кінцевому етапі, відзначеному (*), міркування відносно кожної з
множин провести так:
{ х/х є Z, х=0 } ={0}, бо 0 є Z ,
{ х/х є Z, х_3=0 } ={3}, бо 3 є Z ,
{ х/х є Z, х+3=0 }={_3}, бо _3 є Z .
Отже, ТА(х) = {0} ∪{3} ∪{_3}= {_3;0;3}, якщо областю
визначення є множина Z цілих чисел. ТА(х) ⊂Z .
в); г) Оскільки множина Z цілих чисел є підмножиною кожної
з множин Q та R, то це означає, що область істинності ТА(х), яку
знайдено для випадку X=Z, буде областю істинності у випадку
X=Q та X=R. Символічно це міркування можна записати так:
(X = Z ⇒TA(х) = {_3; 0; 3}) ∧(TA(х) ⊂Z ∧Z ⊂Q ⊂R) ⇒
⇒(TA(х) ⊂Q ) ∧(TA(х) ⊂R ).
Зауваження: Розгорнуте словесне (текстове) пояснення
розв’язування вправи подано як зразок проведення
правильних, логічно зв’язаних міркувань під час самостійного
розв’язування і обгрунтування завдань цього типу, які завжди
76
приводять до правильних висновків, як зразок математично
грамотного мовлення.
На практиці, якщо не наголошується, щоб трактувати рівняння
як предикат, а множину його розв’язків шукати як область
істинності предиката, часто записують розв’язування рівняння
значно коротше, хоч властивості логічних операцій
використовуються в неявній формі. Так розв’язування
попереднього рівняння буде мати вид:
А(х) : “х3 _ 9х = 0”
х3 _ 9х=0 ⇔х(х2 _9 )=0 ⇔х(х_3)(х+3)=0 ⇒
⇒х=0∨х_3=0∨х+3=0 ⇒х=0∨х=3∨х=_3.
ТА(х) = {_3;0;3}.
Іноді в процесі розв’язування рівнянь, спираючись на
властивості диз’юнкції предикатів, замінюють рівняння на
сукупність рінянь, а розв’язком сукупності рівнянь є об’єднання
множин розв’язків усіх рівнянь. Тоді розв’язування має вигляд:
х3 _ 9х = 0 ⇒х(х2 _9) =0 ⇒х(х_3)(х+3) =0 ⇒
⇒
x
x
x
=
− =
+ =
0
3 0
3 0
⇒
x
x
x
=
=
= −
0
3
3
⇒ТА(х) = {_3;0;3}.
Завдання 3 . Розв’язати систему нерівностей
3 2 7
8 2
х
x x
− >
+ <
.
Обгрунтувати розв’язування з точки зору математичної лог_
іки.
Розв’язування: З точки зору математичної логіки кожна
нерівність являє собою одномісний предикат:
А(х): “3х _ 2 > 7” , В(х): “х + 8 < 2х”.
Розв’язати систему нерівностей означає знайти множину
тих значень змінної х, при яких обидві нерівності одночасно
перетворюються в правильні числові нерівності. Іншими
словами, знайти область істинності кон’юнкції двох даних
предикатів_нерівностей. Як відомо, область істинності
кон’юнкції предикатів дорівнює перерізу областей істинності
даних предикатів.
ТА(х)∧В(х) = ТА(х) ∩ТВ(х) .
Стосовно системи нерівностей цю формулу слід розуміти так:
ТА(х)∧В(х) _ множина розв’язків системи нерівностей;
77
ТА(х) _ множина розв’язків першої нерівності; ТВ(х) _ множина
розв’язків другої нерівності. Областю визначення будемо
вважати множину дійсних чисел R.
Розв’яжемо кожну з нерівностей, спираючись на властивості
рівносильності нерівностей:
ТА(х) = {х/х є R, 3x_2>7}={х/х є R, 3x>7+2 }=
={ х/х є R, 3x>9}={х/х є R, x>3}=(3; ∞).
TB(х) = {х/х є R, x+8<2x}={х/х є R, x_2x<_8}=
={х/х є R, _x<_8}={х/х є R, x>8}=( 8;∞).
Зобразимо множини розв’язків кожної нерівності на
числовій прямій і визначимо їх переріз, який буде
розв’язком системи нерівностей.
ТА(х) ∩ТВ(х) = (3; ∞) ∩(8; ∞) = (8; ∞) = TA(х)∧(B(х).
Отже, множина розв’язків системи нерівностей являє собою
проміжок (8; ∞).
Завдання 4. Зобразіть в прямокутній декартовій системі
координат на площині область істинності даних двомісних пре_
дикатів:
а) х2 + у2 = 4, б) х2 + у2 ≤4, в) х2 + у2 ≥4,
г) х2 + у2 < 4, д) х2 + у2 > 4.
Розв’язування: Областю визначення кожного з даних двомі_
сних предикатів є множина всіх можливих пар дійсних чисел
(х,у) є R2 .
Множина тих пар (х,у) з області визначення, при яких
кожен з предикатів перетворюється в істинне висловлен_
ня, є областю істинності відповідного предиката. В декар_
товій системі координат на площині кожна пара дійсних
чисел зображається певною точкою.
Тому геометрично областю визначення кожного предика_
та є множина всіх точок площини, що відповідає декартово_
му квадрату множини дійсних чисел (R2). З цієї множини то_
чок площини слід виділити ті точки, координати яких пере_
творюють кожен предикат в істинне висловлення (кожну
нерівність чи рівняння в істинну числову нерівність чи рівність).
Для цього достатньо побудувати графік рівняння а) х2
+ у2 =4 і шляхом логічних міркувань виявити місце зна_
Х
0 3 8
78
ходження точок, координати яких задовольняють певну
нерівність.
Графіком рівняння а) є коло з центром в початку коор_
динат і радіусом, що дорівнює 2.
Отже, областю істинності одномісно_
го предиката, заданого рівнянням а) є
множина точок кола з центром в початку
координат і радіусом, що дорівнює 2. Ко_
ординати точок, які лежать на колі, пере_
творюють це рівняння в правильну (істин_
ну) числову рівність. Координати точок,
які лежать поза колом, перетворюють
рівняння в хибну числову рівність.
б) Предикат В(х): “х2 + у2 ≤4” являє собою диз’юнкцію пре_
дикатів, визначених на множині R2 .
В(х): “х2 + у2 ≤4” ⇔(х2 + у2 =4 ) ∨(х2 + у2 < 4 ).
Областю істинності першого предиката є можина пар
дійсних чисел (х,у) є R2, які, як очевидно з вправи а), є коорди_
натами точок, що лежать на колі з центром в початку координат
і радіусом, що дорівнює 2.
Символічно запишемо складові предикати так:
В1(х): “х2 + у2 =4”, В2(х): “х2 + у2 <4”.
Геометрично область істинності предиката В1(х) _ це множина
Т В х 1( )точок кола з центром в початку координат і радіусом, що
дорівнює 2.
Геометрично область істинності предиката В2(х) являє
собою множину Т В х 2( ) точок, які лежать всередині кола з
центром в початку координат і радіусом, що дорівнює 2, тобто
точок круга.
Оскільки предикат В(х)=В1(х)∨В2(х), а область істинності
диз’юнкції предикатів дорівнює об’єднанню областей істин_
ності даних предикатів, тобто ТВ(х)=Т В х 1( ) ∪Т В х 2( ) , то гео_
метрично областю істинності предиката
В(х) є множина точок круга разом з гра_
ничними точками, тобто точками кола з
центром в початку координат і радіусом,
що дорівнює 2.
в) Предикат С(х): “х2 + у2 ≥4” являє собою
диз’юнкцію предикатів:
Y
2 x 2+y2=4
1
-2 -1 0 1 2 X
-1
T A(x)
-2
a ) A (x):”x2+y2=4”
Y
б) 2 x2+y2≤4
1
-2 -1 0 1 2 X
-1
TВ(x)
-2
79
С1(х) : “х2 + у2 = 4”, С2(х): “х2 + у2 >4”.
С(х) = С1(х) v С2(х) , тобто
С(х): х2+ у2 і 4 ⇔“(х2+у2=4)∨(х2+у2>4)”.
Міркуючи аналогічно, як в попередньому випадку,
дійдемо до висновку, що геометрично областю істинності
предиката С1(х) є множина Т С х 1( ) точок кола з центром в
початку координат і радіусом 2. Область істинності
предиката С2(х) в системі координат являє собою множину
Т С х 2( ) точок площини, що лежать зовні вказаного кола.
Оскільки С(х) = С1(х) ∨С2(х), то
ТС(Х) = Т С х 1( ) ∪Т С х 2( ) , а отже, область
істинності даного предиката С(х) являє
собою множину точок кола з центром в
початку координат і радіусом, що дорівнює
2, в об’єднанні з множиною точок, що
лежать зовні кола.
г). Предикат D(х): “х2+у2 < 4” має областю істинності
множину ТD(Х) тих точок площини, які лежать всередині кола
з центром в початку координат і радіусом, що дорівнює 2,
але точки кола цій множині не належать. Тому на малюнку
коло зображаємо штриховою лінією.
д). Предикат F(x) : “х2 + у2 > 4” має
областю істинності множину TF(X) тих точок
площини, які лежать зовні кола з центром в
початку координат і радіусом, що дорівнює
2, але точки кола цій множині не належать.
Тому на малюнку коло зображаємо
штриховою лінією.
Завдання 5. На множині Х={ x/x є Z ∧_2≤х≤10}
задані предикати А(х): “ х_ натуральне число”,
В(х) : “х_ складене число”, С(х) : “х _ кратне 5”.
Утворіть предикат А(х)∧С(х)⇒В(х), визначте область його
істинності і зобразіть її діаграмою Ейлера_Венна.
Розв’язування. Новоутворений предикат
А(х)∧С(х)⇒В(х) являє собою імплікацію двох предикатів,
перший з яких _ умова _ це також складений предикат,
Y
в) 2
1
-2 -1 0 1 2 X
-1
TC(x)
-2
Y
2
г)
1
-2 -1 0 1 2 X
-1
TD(x)
-2
80
утворений в результаті кон’юнкції предикатів А(х) і С(х), а
другий предикат, що є висновком імплікації, _ це простий
предикат В(х). Тому його слід читати так: “Якщо А(х) і
С(х), то В(х)”, тобто:
А(х)∧С(х)⇒В(х): “Якщо число х натуральне і кратне 5, то
воно _ складене”.
Щоб визначити його область істинності, спочатку
визначимо область істинності предиката, що є умовою
імплікації, тобто кон’юнкції предикатів А(х)∧С(х), а потім
область істинності імплікації. Запишемо області істинності
кожного з даних предикатів:
ТА(х) = { х/х є Х, А(х)} = { 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 },
ТВ(х) = { х/х є Х, В(х) } = { 4,6,8,9,10 },
ТС(х) = { х/х є Х, С(х)} = { 0,5,10 }.
А(х) ∧С(х): “х _ натуральне число і кратне 5”.
ТА(х)∧С(х) = ТА(х) ∩ТС(х) — за формулою знаходження області
істинності кон’юнкції предикатів.
ТА(х)∧С(х) ={ 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 } З { 0,5,10 } = { 5,10 }.
Тепер за формулою знаходження області істинності імплікації
предикатів знайдемо область істинності предиката А(х) ∧С(х) ⇒В(х),
ТА(х)∧С(х)⇒В(х) = Т А(х)∧С (х) ∪TB(х) .
Т А(х)∧С (х) =Х \ ТА(х)∧С(х) =
={_2,_1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}\{5,10}=
={_2,_1,0,1,2,3,4,6,7,8,9}.
ТА(х)∧С(х)⇒В(х) ={_2,_1,0,1,2,3,4,6,7,8,9, }∪{4,6,8,9,10 }=
={_2,_1,0,1,2,3,4,6,7,8,9,10}.
Зобразимо діаграмою Ейлера_
Венна область істинності кожно_
го з даних предикатів, та об_
ласть істинності новоутворено_
го предиката, яку заштрихуємо.
Завдання 6 . Знайти область визначення та область істин_
ності предиката:
x
x x
2
2
4
7 10
0
−
− +
=
TA(x) X
1
2 4 TB(x)
6 10 TC(x)
3 8 5 0
7 9
-2 -1
81
Розв’язування: Область визначення даного
одномісного предиката є областю визначення рівняння з
однією змінною, тобто множиною тих значень змінної х,
при яких дане рівняння має зміст. Оскільки ліва частина
рівняння являє собою дріб, а дріб має зміст тоді, коли його
знаменник не перетворюється в нуль, то для знаходження
області визначення рівняння необхідно з множини всіх
дійсних чисел вилучити ті числа, які перетворюють
знаменник в нуль. Числа, що перетворюють знаменник в
нуль, є коренями тричлена х2 _7х+10, тобто розв’язками
квадратного рівняння
х2 _7х +10 = 0 . За теоремою Вієта легко встановити, що
розв’язками цього рівняння є х1=2; х2=5. Отже, область
визначення Х даного одномісного предиката являє собою
множину R\{2;5}.
Область істинності даного одномісного предиката Т є
множиною розв’язків цього рівняння.
Оскільки ліва частина рівняння є дробом, а дріб дорівнює
нулю тоді, коли його чисельник дорівнює нулю, то розв’язування
даного рівняння зводиться до розв’язування рівняння х2_4=0.
х2_4=0⇒(х_2)(х+2)=0⇒(х_2=0) ∨ (х+2=0 )⇒(х=2) ∨ (х=_2).
Але значення х=2 не належить до області визначення
Х=R\{2;5} даного рівняння, тому множина його розв’язків
складається лише з одного елемента х=_2. Це означає, що
областю істинності даного одномісного предиката є множина
T={_2}.
Завдання 7. В прямокутній системі координат на площині
подайте геометричну інтерпретацію предиката:
“ | х| +|y |
≤
1 або | х|+ |y |>2”.
Розв’язування.Подати геометричну інтерпретацію предиката
в прямокутній системі координат на площині означає зобразити
множину точок площини, координати яких (х,y) перетворюють
даний двомісний предикат у висловлення (істинне або хибне), тобто
множину Х, що є областю визначення предиката, з якої виділити
підмножину тих точок, координати яких перетворюють двомісний
предикат в істинне висловлення, тобто область істинності Т
предиката. Коротше, зобразити область визначення Х і область
істинності Т предиката. Даний предикат складений і являє собою
диз’юнкцію двох двомісних предикатів. позначимо їх:
82
A(x,y): “|x|+|y|
1
∨
|x|+|y|>2”.
B(x,y): ”|x|+|y|
1” , C(x,y): “|x|+|y|>2”
В зв’язку з цими позначеннями даний предикат запишемо так:
A(x,y)=B(x,y)
C(x,y).
Оскільки кожен із предикатів містить модулі змінних х
та y, а поняття модуля стосується елементів множини R
дійсних чисел (найширшої числової множини), і, крім
цього, в предикатах йдеться про суму модулів, що не
викликає ніяких обмежень при виборі значень змінних, то
це означає, що змінні х, y _довільні дійсні числа, а отже
(х,y) є R2, тобто областю визначення даного предиката і
предикатів, з яких він утворений, є множина всіх можливих
пар дійсних чисел _ R2. Геометрично ця множина, яка
являє собою декартовий квадрат множини дійсних чисел,
зображається всіма точками площини в декартовій
прямокутній системі координат. Отже, X=R2.
Зобразити область істинності даного предиката А(х,y)
означає зобразити множини точок, що є областями істинності
предикатів В(х,y) та С(х,y), і виконати об’єднання цих множин,
оскільки область істинності диз’юнкції предикатів дорівнює
об’єднанню областей істинності складових предикатів. Отже,
TA(x,y)=TB(x,y)
U
TC(x,y)
Знайдемо спочатку TB(x,y), тобто область істинності преди_
ката B(x,y): ”|x|+|y| ≤ 1”.
Оскільки під знаком модуля можуть бути як додатні так і
від’ємні дійсні числа, то даний предикат слід розглядати не
безпосередньо на всій площині (множині Х= R2), а на її окремих
чвертях _ І, II, III, IY. Внаслідок чого і область істинності TB(x,y)
одержиться об’єднанням чотирьох підмножин, що є областями
істинності предиката B(x,y) на кожній з чвертей.
Таким чином даний предикат B(x,y) можна розглядати також
як диз’юнкцію чотирьох предикатів. Розглянемо їх.
а) B(x,y): ”|x|+|y|
≤
1”, де X1={(x,y)/x є R
∧
y є R ∧x>0∧ y>0},
тобто областю визначення є множина точок першої чверті пло_
щини.
Якщо х> 0 і y>0, то |x|=x і |y|=y, а тому предикат можна
переписати так:
B1(x,y):”x+y
1”, або “y
_x+1”
83
Спочатку побудуємо графік y=_х+1, а потім в першій чверті
виділимо ті точки, ординати яких (y) менші від ординат точок
графіка.
Графіком рівняння y=_х+1 є пряма,
для побудови якої достатньо 2 точки.
Знайдемо їх за таблицею, надаючи
змінним х та y послідовно значення, рівні
нулю. Побудуємо графік в першій чверті:
Графіком нерівності y
≤
_х+1 є множина точок, які
лежать нижче від цієї прямої, та множина точок, що лежать
на прямій. Враховуючи, що предикат
B1(x,y) розглядається на множині точок
першої чверті площини, то графіком
його є множина точок трикутника,
утвореного осями координат та
відрізком прямої y= _x+1, що лежить в
першій чверті.
б)якщо розглядати предикат B(x,y):”|x|+|y|
1” на множині
точок другої чверті площини, тобто на області визначення
X2={(x,y)/ x є R
∧
y є R ∧ x<0 ∧ y>0},
то будемо мати іншого виду предикат, враховуючи
значення модулів.
Якщо х<0 і y>0, то |x|=_x і |y|=y, а предикат прийме
вид: B2(x,y): “_x+y
1” або “y
x+1”.
Побудуємо графік y=х+1, а потім виділимо точки в II
чверті, ординати яких менші, ніж ординати точок графіка.
Графіком рівняння y=х+1 є пряма,
що проходить через точки з коор_
динатами, вказаними в таблиці:
Графіком нерівності y
х+1 є
множина точок, які лежать нижче від
прямої.
Оскільки предикат B2(х,y):” y ≤ х+1”
розглядається в II чверті, то графіком
його (областю істинності) є множина то_
чок трикутника, утвореного осями коор_
динат і прямою y=х+1, який лежить в ІІ
чверті.
x y
0 1
1 0
y
1
0 1 x
y
1
y≤ −x+1
0 1 x
TB x y 1( ; )
x y
0 1
-1 0
y
1
y=x+1
-1 0 x
y
1
- 1 0 x
TB x y 2( ; )
84
в) Міркуючи аналогічно, як у двох попередніх випадках,
результати міркування стосовно предиката B(x,y): “| x |+|
y | ≤ 1” запишемо лише в символічній формі без словес_
них пояснень.
X3={(x,y) / x є R
∧
y є R ∧ x<0 ∧ y<0}
Якщо x<0 і y<0,то| x |=_x і | y |=_y.
B3(x,y):”_x_y
≤
1” або ”y ≥ _x_1”
Графіком рівняння y= _x_1
є пряма, що проходить
через точки:
Графіком нерівності y
≥
_x_1 є множина
точок трикутника, утвореного в III чверті
осями координат і прямою y=_x_1.
г) B(x,y): ”|x|+|y| ≤ 1” на множині X4={(x,y)/x є R ∧y є R ∧
∧x>0 ∧y<0}, тобто на множині точок IV чверті.
Якщо x>0 і y<0,то |x|=x і |y|=_y, а тому B4(x,y):”x_y ≤ 1”
або “y
x_1”
Графіком рівняння y=x_1 є пряма, що
проходить через точки
Графіком нерівності y ≥ х_1 є
множина точок трикутника,
утвореного в IV чверті осями
координат і прямою y=x_1.
Зауважимо, що в ході міркувань
вище ми скрізь послуговувались
термінами “графік рівняння” та “графік
нерівності”, які в математиці
використовуються практично
частіше. Але кожен з них означає
множину тих точок площини,
координати яких перетворюють
y
-1 0 x
y= −x−1
-1
x y
0 -1
-1 0
y
-1 0 x
y≥ −x−1
TB x y 3( ; ) -1
x y
0 -1
1 0
y
0 1 x
y=x-1
-1
y
0 1 x
y ≥ x −1
TB x y 4( ; )
-1
85
рівняння (нерівність) в істинну числову рівність
(нерівність), і яку в математичній логіці називають
областю істинності.
Отже, побудовані вище геометричні ілюстрації є
областями істинності кожного з предикатів B1(x,y), B2(x,y),
B3(x,y), B4 (x,y).
Оскільки X=X1 U X2 U X3 U X4=R2, а
B(x,y)=B1(x,y)∨B2(x,y)∨B3(x,y)∨B4(x,y), то
TB(x,y)= TB x y 1( ; ) U TB x y 2( ; ) U TB x y 3( ; ) U TB x y 4( ; ) .
А тому, зобразивши всі ці області на одному малюнку _ в
одній системі координат _ і виконавши їх об’єднання, дістанемо
область істинності предиката B(x,y).
отже, областю істинності предиката
B(x,y):”|x|+|y| ≤ 1” є множина точок квад_
рата, центр якого лежить в початку коор_
динат, а вершини в точках (1;0), (0;1) (_
1;0), (0;_1).
Тепер зобразимо область істинності
предиката C(x,y): “| x |+| y |>2”.
Міркування цілком аналогічні, як у випадку предиката
B(x,y), лише виділяти слід точки, що знаходяться не
всередині квадрата з вершинами (2;0), (0;2), (_2;0), (0;_
2), а зовні цього квадрата (на це вказує знак “>“). Крім
цього, оскільки знак строгої нерівності (”>“), то це
означає, що точки, які лежать на сторонах цього квадрата,
не належать до області
істинності. Тому сторони
квадрата креслимо
штриховою лінією.
Отже, ілюстрація має
вигляд: (запис міркувань в
символічній формі виконайте
самостійно).
Тепер зобразимо область істинності даного предиката A(x,y),
який, як встановлено вище, є диз’юнкцією предиката B(x,y) та
предиката C(x,y). Для цього досить в одній системі координат
зобразити множини TB(x,y) і TC(x,y) і об’єднати їх.
y
1
TB x y 2( ; ) TB x y 1( ; )
-1 0 1 x
TB x y 3( ; )
TB x y 4( ; )
-1
TB(x,y)
y
TC x y 2( ; ) 2
TC x y 1( ; )
1
-2 -1 0 1 2 x
TC x y 3( ; ) -1
TC x y 4( ; )
-2
TC(x;y)
86
Геометрична інтерпретація предиката
A(x,y): “|x|+|y|≤1 ∨|x|+|y|> 2” має вигляд.
Завдання для самостійної роботи.
Завдання 1.Обгрунтуйте, які з речень є одномісними, двом_
існими чи тримісними предикатами. Вкажіть, які множини мо_
жуть бути областями їх визначення, тобто який зміст мають змінні,
що входять до них:
1) 5x_3=2x+9; 11) x•y=z;
2) lg x+lg y = lg (xy); 12) x+y+z=0;
3) sin(_x)=sin x; 13) sin
π
2 +2sin
π
2 +3sin
π
2 =6;
4) x2_7x+5>0; 14) | sin x |<1;
5) cosπ cos cos cos
π π
− =
+ −
x 2 x x
2 2 ; 15) |x|+|y|=1;
6) x2_7x+12<0; 16) x _y = z;
7) x3_1<x; 17)
x
y =z;
8) 2x+3y<4x+3; 18) y = 5
2x −6;
9) +3x> π ; 19) | x+1 |=y;
10) x2+y2=25; 20) x2+y2<25.
Завдання 2.Визначити область істинності предиката, якщо
областю визначення може бути одна з числових множин N, Z,
Q, R.
1) x3_4x=0; 11) x2_7x+10=0;
2) (x_1)(x_2)=0; 12) 2x_6=0;
3) x2_5x+6=0; 13) (x_5)(x+3)=0;
y
2
1
-2 -1 1 2
0 x
-1
-2 TA(x,y).
87
4) x3_7x2+10x=0; 14) (3x_2)(2x+3)=0;
5) 2x2_3x=0; 15) (2x_8)(3x+6)=0;
6) 2x2+7x+6=0; 16) (5x+2)(2x_5)=0;
7) (3x+1)(4x+1)=0; 17) (4x_8)(3x+6)=0;
8) x(x_1)(x_2)=0; 18) (x_3)(x_1)=0;
9) x2_8x+15=0; 19) (x+3)(x+1)=0;
10) x2+x_12=0; 20) (5x+3)(5x+15)=0.
Завдання 3.Розв’язати системи нерівностей. Обгрунтува_
ти розв’язування з точки зору математичної логіки:
1)
2 5 7
4 8 3
x
x x
− >
+ <
9)
9 7 12 9
3 14 48 5 2
( )
( )
x x
x x
− < +
+ > − +
2)
9 8 3 17
3 4 6 21 1 3
x x
x x x
− > −
− ≥ +
10)
11 4 2 1 7 4
17 48 3 2 13
( )
( )
x x x
x x
− + − ≤ −
− < +
3)
3 4 2 1
8 3 5 21
x x
x x
− < +
− > −
11)
4 5 23 3
3 9 1 7
x x
x x
− > −
− < − −
4)
x x
x x
+ ≥ +
− < −
3 2 1
5 4 17 12)
2 2 5 1
2 3 18 3
x x
x x
+ ≤ −
+ > −
5)
3 16 05 7
8 3 14
− ≤ +
− ≤ − −
, ,
,
x x
x x 13)
5
4
4 1
3
2
4
7
6 2
2
6
5
4
3
1
−
−
+
≥
+
−
+
+ + < −
x x x
x x x
6)
3 96 78 04
1 1 3 9 6
x x
x x
− < +
+ < −
, , ,
, ( ) 14)
2 3 1
4 3 8
x x
x x
− > −
+ > −
7)
7 5 8 4
8 4
3
3 1
+ < +
−
+
< +
x x
x x 15)
x x x
x x x
− + < −
− − ≤ −
4 03 72 8
2 7 02 8 503
, ,
, ( ),
8)
3 5
2
3 1
2 6 2 9
x x
x x x
−
≥ −
− > − +
( )
16)
8 3 3 2
6 2 5 1
x x
x x
− > +
− < +
88
Завдання 4.Зобразити в прямокутній декартовій системі ко_
ординат на площині область істинності даних двомісних предикатів:
1) x+y>1; 11) 2x_y<1; 21) x2_x_y=1;
2) x_y<1; 12) 2x+y>1; 22) _x2_x_y=1;
3) 2x+y<1; 13) x2+y=1; 23) x2_x_y=_1;
4) 2x_y>1; 14) x2+x+y=1; 24) _x2_x+y=_1;
5) _x+y>1; 15) x2+x_y=1; 25) x2+y<1;
6) _x_y<1; 16) x2_y=1; 26) x2_y<1;
7) _2x+y<1; 17) _x2+y=1; 27) _x2+y<1;
8) _2x_y>1; 18) _x2_y=1; 28) _x2_y<1;
9) x_y>1; 19) x2_x+y=1; 29) x2+x+y<1;
10) _x+y<1; 20) _x2_x+y=1; 30) x2_x+y<1.
Завдання 5.На множині X={x/x є Z, _8≤ x ≤10}задані пре_
дикати :
А(х):”х_ від’ємне число”, В(х):”х_ кратне 3”,
С(х):”число х_ парне”, D(x):”число х_просте”,
F(x): “число х_складене”.
Сформулюйте подані нижче предикати, визначте їх область
істинності і зобразіть їх діаграмою Ейлера_ Венна.
1) B(x)∨C(x)⇒F(x); 11) F(x)⇒B(x)∨C(x);
2) A(x)∧F(x)⇒B(x); 12) D(x)⇒B(x)∨C(x);
3) A(x)∧C(x)⇒F(x); 13) A(x)⇒B(x)∨C(x);
4) B(x)∧C(x)⇒F(x); 14) A(x)⇒C(x)∧D(x);
5) B(x) ∧C(x) ⇒D(x); 15) A(x)⇒D(x)∨F(x);
6) F(x)⇒B(x)∨C(x); 16) A(x)∧D(x)⇒B(x);
7) A(x)∧C(x)⇒B(x); 17)A(x)∧D(x)⇒C(x);
8) A(x)∧F(x)⇒C(x); 18) A(x)∧C(x)⇒D(x);
9) A(x)∧B(x) ⇒D(x); 19) C(x)∧D(x) ⇔F(x);
10) A(x)∧C (x) ⇒D(x); 20) F (x) ⇔B(x) ∧C(x) .
Вкажіть, які із складених предикатів мають однакові області
істинності.
Завдання 6.Знайти область визначення і область істинності
даних предикатів:
89
1) |x+3|>5; 6)
( )( ),
x x
x
2 2
2
1 4
9
0
− −
−
=
2) (× +1)(× −3)≤0; 7) (× −3)(5+4×)≤0,
3)
× −
× +
1 ≤
2 4
1, 8) |x +4|=8,
4)
x
x
2 1 6
3
0
+
+
= , 9)
1 6
3
3 0
1
3
x− x
+
−
= ,
5)
1 0 1
2
2 0
x x 6
− =
+
, 10)
x x
x x x
2
3 2
5 6
3 2
0
+ +
+ +
= .
Завдання 7.Зобразити в прямокутній системі координат
на площині область істинності даних двомісних предикатів:
а) 1) x2_x_y<1; 10) x2+y2>1;
2) _x2_x+y<1; 11) x2+y2<1;
3) x2+x_y<1; 12) x2+y2=9;
4) _x2_x_y<1; 13) x2+y2>9;
5) x2_x_y<_1; 14) x2+y2≥9;
6) _x2_x+y<_1; 15) x2+y2<9;
7) x2+y2=1; 16) x2+y2=25;
8) x2+y2 ≤ 1; 17) x2+y2
≤
25;
9) x2+y2
≥
1; 18) x2+y2>25.
б) 1) |x|+y=1; 7) |x|+|y|≤3;
2) |x+1|=y; 8) |x|+|y|>3;
3) x+|y|=1; 9) |x|+|y|≤4 і |x|+|y|>3;
4) |x|+|y|=1; 10) |x|+|y|≤2 або |x|+|y|>4;
5) |y+1|=x; 11) |x|+|y|>1 або |x| +|y|≤2;
6) |x+y|=1; 12) |x|+|y|≥1 і |x|+|y|≤2.
Завдання 8.На множині Х={x/x є N ∧x≤15} задані предикати:
A(x): “число х _ непарне”;
В(х): “ число х є розв’язком нерівності х2_14х+45≥0”; С(х): “
число х _ дільник числа 24”.
Утворіть складені предикати і визначте їх область істинності.
1) A(x)∨B(x); 13) A(x)∧B(x)∧C(x);
2) A(x)∧B(x); 14) A(x)⇒
C(x)
;
90
3) A(x)∨C(x); 15) A(x)∨B(x)∨C(x);
4) A(x)∧C(x); 16) A(x) ∨ B(x) ⇒С(x);
5) A(x)⇒B(x); 17) C(x)∧B(x);
6) B(x)⇒A(x); 18) B(x) ⇒ C(x) ;
7) B(x)⇒C(x); 19) A(x)∧C(x)⇒B(x);
8) C(x)⇒A(x); 20) (B(x) ∨A(x))⇒C(x);
9) C(x)⇒B(x); 21) C(x)∨B(x) ∨A(x);
10) B(x)⇔C(x); 22) A(x) ∧C(x)⇒B(x);
11) A(x)⇒C(x)∧B(x); 23) (A(x)⇒C(x))⇒B(x);
12) A(x)⇒B(x)∨C(x); 24) A(x)⇒C(x).
Завдання 9.На множині М={1,2,3,4,5,6,7,8,9} задані пре_
дикати:
A(x,y): “сума чисел х і y належить множині М”,
B(x,y): “добуток чисел х і y належить множині М”,
C(x,y): “різниця чисел х і y належить множині М”,
D(x,y): “ частка чисел х і y належить множині М”.
Утворіть складені предикати і визначте їх область істинності:
1) A(x,y)∧B(x,y), 11) C(x,y)∧B(x,y),
2) A(x,y)∧C(x,y), 12) C(x,y)∧D(x,y) ,
3) A(x,y)∧D(x,y), 13) D(x,y)∧A(x,y) ,
4) A(x,y)∧B(x,y), 14) D(x,y)∧_____B(x,y),
5) A(x,y)∧C(x,y), 15) D(x,y)∧C(x,y),
6)A(x,y)∧D(x,y) , 16) A(x,y) ∧B(x,y)∧C(x,y)∧D(x,y),
7) B(x,y) ∧A(x,y) , 17) A(x,y)∧B(x,y)∧C(x,y),
8) B(x,y)∧C(x,y), 18) A(x,y)∧B(x,y)∧D(x,y) ,
9) B(x,y)∧D(x,y) , 19) A(x,y) ∧C(x,y)∧B(x,y),
10) C(x,y)∧A(x,y) , 20) A(x,y) ∧C(x,y) ∧B(x,y).
91
Завдання 10.
1)На множині Х={_2,_1,0,1,2,...,10} задані предикати: А(х):
“число х _ від’ємне”, B(x): “число х _ кратне 3”,
C(x): “число х _ парне”. Визначити область істинності предиката:
A(x)∨B(x) ⇒C(x);
2)На множині Х={x/x ∈Z ∧_2 ≤х ≤10} задані предикати: А(x):
“число х _ натуральне”, B(x): “число х _ складене”, С(x): “число х
_ кратне 5”. Визначити область істинності предиката:
A(x)∨C(x)⇒B(x) ;
3)На множині X={x/x ∈Z ∧_6 ≤x ≤8} задані предикати: A(x):
“число х _від’ємне”, B(x): “число х _ кратне 3”,
C(x): “число х _ непарне”. Визначити множину істинності предиката:
C(x)∨ A(x)⇒ B(x) ;
4)На множині X={x/x ∈N, x ≤10} задані предикати:
A(x): “число х _ просте”, B(x): “число х _ складене”,
C(x): “число х _ непарне”. Визначити область істинності
предиката:
B(x)∧C(x)⇒A(x);
5)На множині X={x|x ∈N0, x ≤20} задані предикати: A(x):
“число х _ парне”, B(x): “число х _ кратне 3”,
C(x): “число х _ кратне п’яти”. Визначити область істинності
предиката:
A(x)∨C(x)⇒ B(x) ;
6)На множині X={x/x ∈N, x M 5 ∧x ≤50} задані
предикати: A(x): “число х _парне”, B(x): “число х _ кратне
3”, C(x): “число х _ непарне”. Визначити область істинності
предиката:
A(x)∨ B(x)⇒ C(x)
7)На множині X={х/x ∈N, x M 5 ∧x ≤50} задані предикати:
A(x): “число х _парне”, B(x): “число х _ кратне 3”,
C(x): “число х _ непарне”. Визначити область істинності
предиката:
B(x)∨C(x)⇒ A(x)
8)На множині X={x/x ∈Z ∧_3 ≤x ≤10} задані предикати:
A(x): “число х _натуральне”, B(x): “число х _ складене”, C(x):
92
“число х _ кратне 3”. Визначити область істинності
предиката:
A(x)⇒ B(x)∧C(x)
9)На множині X={x/x ∈N ∧x ≤10} задані предикати: A(x):
“число х _ просте”, B(x): “число х _ складене”,
C(x): “число х _ парне”. Визначити область істинності предиката:
B(x)∨C(x)⇒A(x);
10)На множині X={x/x ∈N ∧x ≤15} задані предикати:
A(x,y): “сума чисел х і y _ непарне число”, B(x,y): “добуток чисел
х і y ділиться на 3”, C(x,y): “x M y”. Визначити область істинності
предиката:
A(x,y)⇒B(x,y)∧C(x,y).